挑战非平面的棋盘，AlphaGo稳胜人类？
2016/6/5 超级数学建模
上方超级数学建模可加关注
传播数学干货，学会理性的方式去思考问题
AlphaGo与李世石的围棋大战已结束，
但人工智能这股热潮依旧甚嚣尘上，
转念一下，
如果在莫比乌斯带或者球面上下围棋会怎么样？
是否还是战胜人类？
1.棋盘
如果是环面或者带边莫比乌斯带，那么棋盘还是好搞的。稍微科普一下。
环面：
这是一个20乘20的方格，然后按照箭头方向把对边贴起来，也就是说，图中相同字母是同一个点这样贴起来之后，环面上恰好有19乘19=361个顶点，和通常的围棋盘是一样的。
莫比乌斯带：
和前面类似，不过这个是19行20列的网格，然后把对边反向贴起来，相同字母对应的是同一个点，这样依然是361个顶点。
知友韩凤鸣提出了另外一种莫比乌斯带的棋盘的想法，就是在真正的莫比乌斯带上下棋。真正的莫比乌斯带是这样的：
图片来自百度百科图片来自百度百科
他的观点是，每个点可以落两个棋子，分别那个点的“正面”和“反面”上。(加引号是因为对于整个莫比乌斯带，不存在正面和反面，只有一个面。)
如果在这样的纸带上下棋，我认为的下棋方法就确实是相当于把纸戳破来下棋了……好像看起来是不太合理，但是事实上，可以证明，如果每个点看成两个点的话，这样下棋和在圆筒的外表面上下棋是等价的。
证明
一个比较容易的方式是这样的，先看不带边的情形，考虑莫比乌斯带在三维空间中的法丛，取S^0丛，因为莫比乌斯带是不可定向的，所以这样取出来的S^0丛是连通的，而S^0其实就是正负1，所以这是莫比乌斯带的一个double cover，从而是圆筒。边界随便处理一下就好了。
btw这就是14年丘赛几何的最后一个还是倒数第二个题，不过对于一般的mfd取norm bundle肯定是不行的，因为没有外围空间，可以取定向线丛或者n-form丛……
当然我们未必要求读者了解covering space，所以给一个简单一点的看法
我们先在莫比乌斯带上取一条起点线，就在我们看到的这一面上，如下图红线
然后拿一卷保鲜膜(保鲜膜：我的错？)，按照图中箭头方向捋着莫比乌斯带走，直到回到起点线。这里的回到是指恰好回到起点线，因为事实上会回来两次，一次在起点线的背面。现在我们让莫比乌斯带凭空消失，而把保鲜膜拿出来，那么两面下棋的方法，就等价于在这个保鲜膜上下棋。所以我们只要关心保鲜膜的形状就可以了。因为两面下棋是强制把一个点拆成两个点，上面的方法相当于是把这两个点强行拆出来。
为了看保鲜膜的形状，我们再做一点具体的事情。我们在图上画一条蓝色的箭头，如下图
让这条蓝色的箭头沿着保鲜膜运动，运动之后会变成这样
运动起来就变成这样了，虚线表示在我们看不到的那一面，如图所示，蓝色箭头第一次回到了起点线，方向是反的，但是在起点线的背面，所以还没有走完保鲜膜的全程，继续走。
现在回来了，如绿圈圈出的，方向变成了一样的，也就是说，保鲜膜的起点和重点是用同样的方向粘合的，这就是圆筒，结束。
用围棋的话来说，如果白子和黑子分别走蓝色箭头的头和尾，那么白子和黑子能互不干扰的占整个一条边，这是只有在圆筒上才会发生的事情。
但是球面怎么办？ 那么来讨论一下球面棋盘的问题吧。
作为一个球面上的棋盘，个人感觉应该有这么几个要求：
0 每个顶点都要落在球面上。
1 每个点周围有四条边，用围棋的话说，每个棋子下上去都应当有四气。
2 每个格子都是正多边形，每个点附近的正多边形都一样。(这个要求有点太严了，再议)
如果按照上面的要求，这样的多面体其实是不多的。 首先，如果仅考虑2，我们来分个类：
——正多面体(完全对称，面只有一种正多边形，共5种.wiki:正多面體)
——半正多面体(满足2，但是用到了多于一种正多边形作为面.可以分成三大类.wiki:半正多面體)
————阿基米德立体(共13种，wiki:阿基米德立體)
————正棱柱
————正反棱柱
如果再加上条件1，那么只剩下下面几种了：
正反棱柱(虽然这个有无穷多种，但是我们肯定不喜欢，作为球面上的棋盘来说太扁了。。)
正八面体(8个面，12条边，6个顶点)
截半立方体(14个面，24条边，12个顶点)
截半二十面体(32个面，60条边，30个顶点)
小斜方截半立方体(26个面，48条边，24个顶点)
小斜方截半二十面体 (62个面，120条边，60个顶点)
图片来自wiki
基本来说都不太适合作为棋盘，原因在于格点太少，最多只有60个点，根本玩不开啊……
如果放松2的话，那么还能得到更多的多面体，例如只有4条经线加任意多纬线，这也是可以的。但这个分类就不清楚了。。
2.关于下棋策略
其实我也不是很会下围棋，略知道规则而已。球面就先不讨论了，棋盘还没定好呢。
先来看莫比乌斯带上的事情。俗话说的好，金角银边草包肚，正常棋盘上角最好，边次之，内部最差。原因是，按照这个顺序，圈地的效率降低，而且做活的难度也上升。然而，如果在莫比乌斯带上，没有角，所以作为理智的棋手，果断先抢边啊!
所以呢，我估计下棋的时候是这样的。(箭头还是标在棋盘上吧，免得忘记)
黑1占边，白2也是占边。黑1占边，白2也是占边。
黑3拆三继续占边，白4也拆三(我随便拆的，拆错了不要怪我……)
然后下面继续拆。注意一下黑7的位置，拆三的话会跑到左上角来。
白8、黑9继续拆，这时候黑9就会到这里来
这个时候黑9已经跑到白2附近了，这里是莫比乌斯带和圆筒的区别。
如果棋盘是圆筒的话，黑白可以分别不干扰地占边。
但是现在，白棋是不是得考虑防守一下了，比如说白10可以考虑小飞一下(我随便飞的，飞错了不要怪我……)，像这样
如果有高手的话不妨下一盘试试看，我就不多献丑了。
而环面的话事情就麻烦了，圈地还是次要的，关键是做活。所谓做活呢就是要有两个眼，这样才是活棋。
举个例子，在角上的话六子肯定能活，而边路爬边二线，俗话说的好，七死八活，就是说爬七个后手死爬八个才后手活。而在中间的话那就不知道多少个子了……
莫比乌斯带上好歹有边，虽然只有一条，而环面上完全没有，因此感觉做活比圈地更重要。
而且另一方面，因为没有边，打入估计是几乎不可能的，也就是说，基本上围住了的地就是自己的。以上都是个人感觉，还是那句话，如果有会下围棋的并且有兴趣的话，不妨下一盘棋谱发过来研究一下。
3.征子
像打劫、双活这种事情都是局部的，和棋盘的结构没什么关系，但是征子就不一样了，这个和棋盘的拓扑结构是有关的。先科普一下，所谓征子，就是下面的图中，如果轮到黑子，那么白必死。
步骤如下图
黑棋步步叫吃，白棋被逼至边上，死。
如果是在环面上，并且棋盘就如开始所言，那么征子也一定是可行的杀法。
这里棋盘直接用19乘19，贴边的事情记着就好，就不表示出来了。
在环面上，如下图
由对称性，从哪里起步都是一样的。下面黑先行，步步叫吃，就会得到下图
下到这里，特别说明一下，右边的黑子是合理的，因为原来的左右两边被贴起来了嘛，所以左边新下的白子邻接的位置其实是右边黑子的位置。
下面出现这种情况就不特殊说明了，继续下。
白子刚刚好撞回到最开始的黑子头上，黑1打吃，白一条大龙就跪了。也就是在环面上，征子还是可行的。
莫比乌斯带上，情况又不一样了。这里也随便画一个示意一下。
就从这里开始征子好了。
黑先行，若干步后，又会走到边上来。
方便起见，中间的天元已经标出来了。(当然莫比乌斯带是没有天元的，只是有标出来只是为了中间的一条线明确一些。)白1走到边上了之后，黑2落子应当如上图。然后继续下。
黑1打吃，白2一头撞墙，白棋一条大龙就跪了。
单独写一下征子只是单纯地想展示一下棋盘的形状而已，嗯，就酱。
via：王筝(知乎)
如果觉得文章不错，欢迎打赏
在非平面的棋盘上，无论是环面、莫比乌斯带、球面，严重地加重人类对棋局的控制能力和计算力，出错的机率显然会增加。
而AlphaGo的学习过程都是基于平面棋局，而在缺乏对非平面棋局的学习，AlphaGo是否能实现人类类比的学习行为，这或许是决定这场对决的有趣之处。
http://www.duyihua.cn
返回 超级数学建模 返回首页 返回百拇医药