通向哥德尔之路①
2015/6/28 哲学园

     通向哥德尔之路①

     作者简介：

     克里普克，[美] 克里普克(Saul A.Kripke)，普林斯顿大学荣誉退休教授，纽约城市大学研究生中心哲学特聘教授。

     译 者：徐召清，四川大学公共管理学院讲师

     内容提要：

     哥德尔不完全性定理是思想史近乎必然的结果，而哥德尔在证明第一不完全性定理时构造的哥德尔句表达了一个可以实际诉说的简易陈述。首先，集合论悖论的存在表明，不受限制的概括公理模式是不一致的，而这足以得出不完全性定理的非构造性证明。其次，每个关于属于关系的集合论悖论都可以转化为关于满足关系的悖论，再通过满足到真的归约转化为语义悖论，这恰好是哥德尔句的形式：“对自身不可证”对自身不可证。

     这个标题是什么意思?根据哥德尔最初给出的版本，他的不完全性定理似乎是一个非凡而又巧妙的神奇构造。我们现在运用现代递归论或可计算性理论，可以将其归约为停机问题的不可解性，或“存在非递归的递归可枚举集”这一定理，但那不是哥德尔自己的提问方式。我在递归论界享有盛誉的一个朋友曾在非正式场合对我说，我们都知道最初的哥德尔句是如何被构造的，但都没有真正理解它说的是什么。它只是人工产品，缺乏直观内容。

     现在，我打算做两件事情：第一，将哥德尔定理作为思想史的近乎必然的结论来陈述。我不是说，它确实是这样发生的，我只是说，它可以，或许也应该，但却并未以这种方式发生。第二，我想表明，哥德尔在第一不完全性定理中证明为不可判定的哥德尔句，造就了一个可以被实际诉说的相当易懂的陈述。沿此思路，我将会做一些更加技术性的事情，就连专家都不知道，这些事情既是动机，也是附带定理。它们必须被分离出来，因为涉及更多的技术细节，但我会提到，并在某种程度上使用它们。我也应该在一开始就说明，有些问题对解释哥德尔句的主要观点是不必要的，并且是可以避免的，如果有人希望这样做。

     让我们先来看看哥德尔自己的说明，通过与通行版本的对比，它的巧妙和神奇触动了许多读者。首先，哥德尔说：

     在进入细节之前，我们先概述证明的主要思想，当然不做任何完全精确的断言。一个形式系统(这里我们把自己限制到系统PM)的公式在外观上是初始符号(变量、逻辑常量和括号或标点符号)的有穷序列，而且也很容易完全精确地陈述哪些初始符号的序列是有意义的公式，哪些不是②。

     ……何种对象被选作初始符号都是无关紧要的，我们用自然数表示这种用法。结果是，公式将是自然数的有穷序列，而证明排列则是自然数有穷序列的有穷序列。③

    

     这意味着，当第n个类标记——他称为R(n)——的自由变元替换为数字n的符号时，我们得到的公式是不可证的。这本身定义了一个类，因此也可记为某个类标记。所以，它记为类标记R(q)，q为某个自然数。然后，他表明，如果我们考虑的命题：

     Bew(R(q)，q)

     结果是不可判定的，并且以一种巧妙且迂回的方式，它可以被理解为其本身是不可证的。他写道：

     这与理查德悖论的相似性映入眼帘。也与“说谎者悖论”密切相关。④

     相当聪明(如果我不给出这些细节，我假定你之前已经听说过它们)和相当巧妙的构造。他的构造的结果是以一种近乎神奇的方式，给出了一个唯一地应用于自身的公式，它可被证明为等价于自己的不可证性。然而，该公式与什么有关?它说的是什么?哥德尔在脚注15中说，该公式只是以一种间接的方式说它自身是不可证的。他认为⑤，该公式不涉及任何恶性循环，因为它只是碰巧说自己是不可证的。⑥

     非正统地，与从语义悖论⑦开始相反，我想从过去通常被称作“集合论悖论”的东西——也就是，所谓的不受限制的概括模式导致矛盾——开始。

     素朴的或不受限制的概括模式是：

    

     然而，既然无参数的版本已经导致悖论，我们将只处理A(x)不包含参数的版本。某些经典悖论有使用外延公理和概括公理而被最明显地形式化的版本。即便这些版本实际上也可以用来产生哥德尔定理的版本，但过度的复杂毫无必要。⑧

     该模式的矛盾本性极大地震惊了数学界和逻辑学界。庞加莱(Poincaré)对康托尔的集合论和数理逻辑的态度都充满敌意，他说康托尔主义者扩展自身却跑进了矛盾。之前他认为数理逻辑是无害的，现在他欣喜若狂，它不再无害，它导致矛盾。但是，康托尔从未感觉到概括模式的矛盾本性与他的集合论有何关系⑨。我倾向于相信，豪斯多夫(Hausdorff)的感觉也是如此。但弗雷格必定非常震惊⑩。比其他人更多地使该悖论大众化的罗素也震惊了(11)。在数学界，即使那些比庞加莱更加同情集合论的人们，也认为存在需要解决的严重问题，而素朴集合论却最自然地根基于这个不一致的模式(12)。

    

     因此，K是回报的，因为它不是其自身的成员，所以它必须是回报的。但回报它的z，因为是K的元素，所以必须是非回报的。另一方面，这一事实表明，它是回报的，即由K本身。再次获得一个矛盾。因此，这个悖论也表明，不受限制的概括公理模式不能被满足。与罗素悖论一样，它比传统的集合论悖论——如布拉里-福蒂悖论——简单得多。

     对我来说，这已经有概念上的好处，只是简单地被告知不受限制的概括公理模式是不一致的，而不需要任何特别的例子，就足以推导出一个(非-构造性的)哥德尔定理的版本，在适当的假设(包括一致性)下证明，存在为真却不可证的全称陈述，并且，其在ω-一致性的假设下，是不可判定的。

     请注意，已知条件独立于对属于关系的解释。不受限制的概括公理模式是不一致的，这是纯粹的一阶逻辑问题。罗素在他的理发师案例中就已经意识到了这一点，该理发师给并且只给那些不给自己刮胡子的人刮胡子，问题是他是否给自己刮胡子。或者，与蒯因的案例类似，某人可以有这样一类理发师，他们不被那些给他刮胡子的理发师刮胡子——或类似的东西。也可以得到同样的矛盾，因为对属于关系的解释是不相关的(14)。

    

     (正如我说过的，可以选择特定的自由变量以达到规范化)。假设我们有D的元素和公式之间的二元谓词S：

    

     从不受限制的概括公理模式的不可满足性就足以得出塔斯基的结论，通行的一阶语言不能完全包含它自己的语义——不能在语义上封闭(17)。它不能包含其自身的满足谓词，即使限制到只含一个自由变元的公式也是如此。

     现在，人们没有想过包含自己语言为一部分的一阶结构。我们可以将其稍微弱化，而不必假定它在字面意义上包含自己的语言L作为元素——虽然因为这只是结构问题，很难说这是否非常重要。但是，假设有一个编码函数，我们进一步假定它是一一映射(虽然一一映射并非对我说的每件事情都是必须的)将类标记映射到论域的元素。

    

     不能是语言L中可定义的任何关系——不能是初始的也不能是被定义的——因为否则我们将能够得到不受限制的概括公理模式为真。请记住，我们并不需要知道任何特定的悖论，而只是不受限制的概括公理模式不能为真。

     到目前为止，我们除了D有无穷基数外并无更多要求，却推论出编码函数或者满足关系必须是在语言L中不可定义的。

    

     在L中为真。现在，为了将满足归约为真，或者至少使得对D的适当子集D*这种归约是可能的，其包含L公式的编码(或至少类标记的编码)，我们必须能够在L中定义一个命名关系，以将每个公式的编码和它在L中的名字的编码联系起来。按我这里的处理方式，其与哥德尔的处理方式相近，我们也需要定义代入。另外，用可能是塔斯基首先观察到而蒯因或许又独立发现的那种方式，我们可以如下定义：

    

     (这里被认为是在L中可定义的。在著名的哥德尔案例中，自然数是公式(的编码)，而其数字的哥德尔数是其名字的编码。语言中也有合适的定义关系。)这是将满足归约为真的另一种方式，但它仍然需要一个在语言中可定义的命名关系(20)。因此，要将满足归约为真，我们需要一个函数g，将每个类名或类名的编码映射到编码的名字：

    

     我们进行得很顺利，因为如果真不是可定义的，但可证性在编码下却是可定义的(这在足够丰富的系统中肯定是真的；事实上它在一阶算术中也是真的，这稍微困难一点)，则真不能等于可证性，所以它们必须是两个不同的东西。所以，或者存在一些为假却可证的东西，这非常糟糕，或者存在真却不可证的东西，这也很糟糕，但不是太糟糕。当然，哥德尔选择了后者，假定你的语言中有一个公理系统，其所有的公理都是真的。

     即使在这个时候，我们也可以说更多。在一本著名的专著中，塔斯基、莫斯托夫斯基和罗宾逊提出了一个理论R，被认为是一个非常弱的理论以至于任何可递归公理化的理论都包含R，其允许进行哥德尔和罗塞尔的构造。也许这些作者们的印象是，他们的公理之一对罗塞尔形式的定理是必要的，但对哥德尔定理却不是；无论如何，他们加入这组公理给人这样的印象。但事实证明，这额外的公理对罗塞尔定理也是多余的。

    

     哥德尔证明，通常公理系统的可证性谓词可以用加法和乘法来定义。不应该把他这方面的工作看成是本质的。如果是其他函数，例如幂函数，被当成初始的、也没有本质性的变化。记住，他的基本关切是《数学原理》的可证性谓词，其在系统中的可定义性要容易得多(21)。

     不过，有一点我想在这里指出。考虑任何一阶系统S，其证明谓词可以通过加法和乘法来定义，并包含School(22)。假设S是一致的。然后由我们的基本结论，S(School的语言加数的通行一阶逻辑)中的真不能与S中的可证性相同。因此，S要么证明某个假陈述A，要么不能证明某些真陈述。但是，由于S是一致的，如果它证明假陈述A，则它不能证明

    A(23)。因此，存在为真却在S中不可证的陈述。

    

     这些都是由非构造的(25)证明得到的哥德尔不可判定陈述的性质。斯穆里安评论说，当他们听到哥德尔的发现时，数学家们更对其结论感到惊讶，因为哥德尔发现了一个不可判定的全称陈述，而其每个实例都是可证的。我亲身经验到的一位数学家也是如此。

     注意，这里的结论不可能被改进以得到罗塞尔形式(与R理论的情况不同，即便删掉多余的公理集)。这之所以为真，是因为在算术语言中，存在完全且一致而又可算术定义的公理系统，但即使要求递归可公理化，其仍然为真。注意，School的公理在实数和复数上成立，后者的理论是完全且可判定的。这当然不是“预期的”解释，但完全且一致的非递归系统也不在“预期的”解释中成立。

     到目前为止，我们将自己限制到仅有的知识，即不受限制的概括公理是不一致的，而不知道任何特定的悖论。但是，我们当然知道一些特定的悖论，其中罗素悖论最有名也最简单。(为了形式方面的考虑，在这里我们不将其推广到包含School的任何系统)。

     我们已经说过满足和真之间的关系，以及要从满足的不可定义性证明真的不可定义性需要什么。然而，在这里，让我们更具体地考虑该问题。格雷林悖论当然是罗素悖论的一种版本(26)。属于关系替换为满足关系，与其在理发师版本中被替换一样。不过，此时我们似乎有一个相关的语义悖论。以下是蒯因对该问题的论述：

     为了解释这个悖论，首先需要定义自谓的或自我描述的形容词。形容词“短的”是短的；形容词“汉语的”是汉语的；形容词“形容的”是形容的；形容词“多音节的”是多音节的。这些形容词，用格雷林的术语说，都是自谓的：它们都对自身为真。其他形容词是非自谓的；例如，“长的”不是长的形容词，“德语的”不是德语的形容词，“单音节的”不是单音节的。

     格雷林悖论来自这样的询问：形容词“非自谓的”是自谓的还是非自谓的?我们在这里遇到了和理发师案例同样的困境。(27)

     格雷林悖论并非只适用于单独的形容词，也适用于整个短语，甚至也不需要发明任何诸如“非自谓的”这样特别的词语。如蒯因所说，该悖论可以用“对自身不为真”来表达。该短语对自身为真当且仅当对自身不为真。

     “对自身不为真”只是将“非自谓的”拼写出来。蒯因说，他将这看成是一个悖论，也就是，对我们直觉的真正冲击，我们无法解释它哪里出错了。

     现在蒯因将他的注意力转向古老的说谎者悖论。他考虑了该悖论的各种形式，第一个就是“克里特岛人埃匹门尼德的悖论，他说，所有克里特岛人都说谎”(28)。蒯因发现该陈述中可能存在的漏洞，并尝试其变体，如“我在说谎”和“这句话是假的”。找到对上述所有重构的可能反驳后(29)，他最终给出了他自己的著名表述：

     但是，如果我们仍执意要构造一个语句，其无歧义地将假归于自身，我们可以这样做：“‘附加到自身的引述后产生假’附加到自身的引述后产生假”。该语句挑选出九个(英文)词，并且说这串词，如果被写两次且第一次写在引号内，那么结果是假的。但这结果正是该语句所说的。该语句为真当且仅当它为假，于是我们得到悖论。(30)

     这是说谎者悖论著名而又非常精炼的版本。蒯因继而又说：

     这是一个真正的悖论，与“非自谓的”或“对自身为假”或“对自身不为真”类似都对自身为真。然而，前者通过“对自身不为真”而依赖于“对……为真”，而后者只通过“假”或“不真的陈述”的构造依赖于“真”。(31)

     蒯因的要点在于，它是与“非自谓的”悖论类似的——也许是不同的悖论。

     但它果真是不同的吗?如果某对象有一个名字，如“火星”，那么，红色对火星是真的，当且仅当火星是红色的。正如我们已经强调过的，如果我们有系统性的命名函数，满足或(“对……为真”)可以被归约为简单的真。在当前的案例中，涉及语言短语，引用就是一种系统性的命名函数。某物对词“长”为真，恰好对应句子的空白位置填入长后也变为真。

     什么时候短语附加到自身的引述后产生假?恰好是它对自身不为真的时候。例如：

     “对自身不为真”对自身不为真。

     这不是与“非自谓的”悖论相似的悖论；它正是“非自谓的”悖论，假定“对……为真”可以归约为“真”。任何关于属于关系的悖论都可以转化为关于满足关系的，然后转化为关于真的；而最简单的是罗素悖论。所以，这不是如它通常被认为的，塔斯基聪明且复杂形式的埃匹门尼德悖论——它仅仅就是“非自谓的”悖论，用到的事实是陈述都可被命名，这里是通过引号，而在形式系统中是通过其他形式的编码命名。所以，不应该说它是与“非自谓的”悖论类似的真正悖论；它就是同一个悖论(32)。

     注意，蒯因没有意识到，他实际上只是重述了一遍“非自谓的”悖论。并且，我们没必要将其看成说谎者悖论的一种；我们不必注意到，这是一个在说“我是假的”的陈述。如果有人没有注意到这一点，它仍然是一个悖论，即伪装的“非自谓的”悖论，这就是它的真面目。所以，当然它是真的当且仅当它是假的，因为所有悖论都如此；但如果有人没有注意到这是说谎者悖论的一种，我们仍会得到同样的结论。

     那么，哥德尔的第一不完全性定理在哪里与所有这一切相契合呢?首先，我们必须忘记将所有事情都建基于School这样弱的系统。给定公式和证明的适当编码(哥德尔数)，我们必须能够在我们正在研究的系统内判定给定公式序列是否是证明。塔斯基-莫斯托夫斯基-罗宾逊系统R是足够的，但我们不应忘记，哥德尔最初的目的不是证明非常弱的系统的不完全性，甚至，比如一阶算术，而是如《数学原理》(见他论文的标题)的更强的系统。原始递归公理化就行。那结论会更容易。

    

     “对自身不可证”对自身不可证。

     这正是哥德尔所构造的陈述G。

     所以，基本陈述G可被称为哥德尔式的“非自谓的”悖论，对笔者而言，其内容要比被看成说谎者悖论更清楚(33)。倘若我们的基础系统，比方说PM，是一致的，则G不能是可证的。因为该证明必须是对“对自身不可证”对自身不可证的证明，而其本身又恰好是“对自身不可证”对自身可证的证明。同样，读者可以完成这个证明，G也不能是可否证的，假定PM是ω-一致的。论证也可以进行，即便没有明确注意到G说的是关于自身的东西(34)。

     从这个角度看，哥德尔陈述G并不只是构造的，而是有良好的动机。它是“非自谓”悖论的直接模拟，而后者又是罗素悖论的模拟。类似地，我们也可以用所有非回报类的类给出罗素悖论的蒯因变体的模拟；公式回报自身，当它对自身可证。对集合论悖论的其他变体也可做同样的处理。

     在G的案例中，罗塞尔证明了，如果“对…可证”被替换为更复杂的谓词“对…可证且没有更短的否证”，其中“更短”由哥德尔数给出，则在不假设ω-一致性的情况下，也可证明该陈述是不可判定的。(35)(36)

     注释：

     ①本文是克里普克应邀在2012年8月由北京大学哲学系举办的“克里普克、逻辑和哲学”国际研讨会上所做的主题报告，此前他曾在多个国家的不同场合报告过此文，但从未正式发表。

     ②众所周知，哥德尔后来将自然数的有穷序列编码为单独的数。有趣的是，哥德尔在初稿中使用的编码系统并非在后文中详细讨论到的著名的哥德尔数，而是与蒯因(Quine，Mathematical Logic，Cambridge，MA：HarvardUniversity Press，1940)和斯穆里安(Smullyan，Theory of Formal Systems，Princeton，NJ：Annals of Mathematics Studies，Princeton University Press，1961 和Smullyan，

     Incompleteness Theorems，New York：Oxford University Press，1992)的编码方式更接近。然而，要发现这一点，需要对哥德尔的表述方式做一些调整。我个人更偏好蒯因和斯穆里安引入的哥德尔数，而我自己也有相应的变体。我也想说，对(包含塔斯基弱二阶逻辑的)大多数系统而言，将数的有穷序列编码成单独的数并非真正必要，即便这已非常著名。也不需要将这些序列的有穷序列编码，却仍能像哥德尔的文本一样保留相同的构造。

     ③

    ,“

     formal unentscheidbare

    der Principia Mathematica und verwandter Systeme I”,MonatsheftefürMathematik und Physik,Vol.38,No.1,1931,pp.173-198,Translated as “Onformally undecidable propositions of Principia Mathematica andrelated systems I” in Feferman,S.et al.,

    ：Collected Works Vol.I.,Oxford：The ClarendonPress,1986,p.147.

     ④

    ,“On formallyundecidable propositions of Principia Mathematica and related systems I”,p.149.

     ⑤Ibid.,note 15.

     ⑥事实上，我不同意哥德尔在这个脚注中的建议。我认为，我们可以用一个直接陈述自身不可证的公式来完成哥德尔的构造。参见S.Kripke，“Outline of a Theory of Truth”，Journal of Philosophy，1975，Reprinted in Kripke，Philosophical Troubles：Collected Papers，Volume 1，New York：Oxford University Press，2011，p.693，note 6。有人建议我说，我的脚注值得详细阐释，而我可能会在别处这么做。某些阐释参见Kripke，“Three Lectures on Truth”，Manuscript，1975。

     ⑦在脚注14中，哥德尔说：“每个认识论悖论都可同样地运用于类似的不可判定性证明。”在我看来，“认识论悖论”和我们现在说的“语义悖论”是一个意思。

     ⑧布拉里-福蒂悖论是一个特例，因为在原来的理论中，不存在从序数到某种集合(或类)的特殊归约。并且，也存在将关系归约到集合的问题。存在各种不同的可能理论，其不包含任何归约。而在后一情况下，布拉里-福蒂悖论就不只是不受限制的概括公理模式的后承。该悖论的历史，参见Moore andGarciadiego，“The Burali-Forti Paradox：A Reappraisal of its Origins”，HistoriaMathematica，Vol.8，No.3，1981，pp.319-350。(尽管我同意两位作者的说法，康托尔并没有将布拉里-福蒂结论——即便将他对良序集的错误定义修正以后——看成是悖论性的，我确实认为他觉察到了这样的数学事实，序数自身不能再形成另一个良序集。)

     ⑨参见Hausdorff,"So Called Paradoxes of SetTheory",Grundzüge der Mengenlehre,New York:ChelseaPublishing Co，1914。

     ⑩参见Russell,1902,"Letter to Frege",Invan Heijenoort,From Frege to

    :Source Book in MathematicalLogic,1879-1931,Cambridge,MA:Harvard University Press,1967,pp.124-125。

     (11)参见Ibid.,pp.127-128。

     (12)哥德尔对此的态度是“该悖论对逻辑和认识论是非常重要的问题，对康托尔理论却不是”。参见

    ，“What is Cantor’sContinuum Problem?”，The American Mathematical Monthly，Vol.54，No.9，1947，pp.515-525，Reprinted in Feferman，S.et al.，

    ：Collected Works Vol.I.，Oxford：The Clarendon Press，1986。

     (13)参见Moore and Garciadiego,“The Burali-Forti Paradox：A Reappraisal ofits Origins”,HistoriaMathematica,Vol.8,No.3,1981,pp.319-350。

     (14)在很长一段时间内，我都未曾听过这样的保险公司，它们专门担保其他保险公司的巨灾索赔。罗素悖论表明，不能有这样的保险公司(“罗素保险”)，它担保且只担保那些不自我担保的保险公司。

     (15)当然，罗素通过其摹状词理论证明，函数符号和常项都可消去。参见Russell，“On Denoting”，Mind，Vol.14，No.56，1905，pp.479-493和A.N.Whitehead and B.Russell，1910，1912，1913，PrincipiaMathematica，3 Vols.Cambridge：CambridgeUniversity Press，Second edition，1925，Vol.1，1927，Vols.2，3。

     (16)我并没有在不受限制的概括公理模式中为变元加下标。显然，即使有下标，它也仍然成立。

     (17)塔斯基经常这样表述，似乎语义封闭的语言是不一致的。但实际上不一致的是形式理论。我自己的表述方式是，通过通常一阶逻辑形式化的语义封闭语言不存在。(我在未发表的1975年手稿“ThreeLectures on Truth”中曾指出这一点。)

     (18)该表述使结论依赖于选择公理。否则，我们假设D戴德金无穷，或等价地，有可数子集。在建立该性质与D的无穷性之间等价时需要使用弱的选择公理。

     (19)事实上，我遵循传统将该结论归功于塔斯基。根据王浩所言，哥德尔给策梅洛的信(由格拉顿-吉尼斯(Grattan-Guinness)复制并加了评论)表明，哥德尔于1930年在证明不完全性定理之前，就证明了通常的语言不能定义自己的真谓词(Wang，Reflections on Kurt

    ，MIT，1987，pp.90-91)。

     (20)我们不需要字面意义的名字；例如，在罗素的摹状词理论中，被唯一对象满足的谓词可用来代替名字，只要我们有系统的谓词清单。

     (21)假定没有证明一阶算术的哥德尔第一不完全性定理。这可能被归因于系统太弱。更强的系统，如《数学原理》(Principia Mathematica)，仍可能判定所有相关陈述。

     (22)给定一阶逻辑的通常形式化，这等同于公理集的可定义性。

     (23)该观察来自马丁(D.A.Martin)，其取代了之前使用的更为复杂的论证。

     (24)即一组量词后是不带量词的东西：(Q[，1]x[，1])...(Q[，n]x[，n])(...)。

     (25)在本演讲的先前版本时，这种形式的结论需要是非构造的(即独立的陈述不能通过递归函数得到，给定S公理的算术指标)已由马丁证明。而笔者发现了另一个，也许更具概念性的证明。

     (26)我相信格雷林悖论源于其毕业论文。格雷林悖论通常是针对自然语言表述的(见后文)，但也同样可以针对形式语言。同类型的变形方式也可运用于不受限制的概括公理模式的其他实例。

     (27)参见Quine,W.V.O.,The Ways of Paradox and OtherEssays,Cambridge,MA：Harvard University Press,1966,p.4。

     (28)Quine,W.V.O.,The Ways of Paradox and Other Essays,p.6.

     (29)我不能肯定蒯因真的认为这些出路完全可靠。

     (30)Quine,W.V.O.,The Ways of Paradox and Other Essays,p.7.

     (31)Ibid.

     (32)在某种意义上，塔斯基似乎意识到了这种联系。在(Tarski，“Der Wahrheitsbegriff in den formalisierten Sprachen”，Studia Philosophica，Band.1，1935，pp.261-405，translatedas“The Concept of Truth in Formalized Languages”，by J.H.Woodger in Tarski，Logic，Semantics，Metamathematics(second edition)，Indianapolis：Hackett，1983，pp.152-278，p.248，note 2)中，很明显对原论文有所增加，因为他提到了在后来写的论文(Tarski，“The Semantic Conception of Truth and the Foundations of Semantics”，Philosophy and Phenomenological Research，Vol.4，No.3，1944，pp.341-376)中的特殊构造，塔斯基似乎看到了，在自然语言中，可以通过格雷林悖论得到某种类似于形式的哥德尔证明的东西，其表明语言不能包含自身的真定义。然而，他并未将其应用于哥德尔证明。[此评论来自约瑟夫·阿尔莫格(Joseph Almog)。]

     (33)如常，假定哥德尔所说的。理查德悖论也是一样的。

     (34)真正使用到的是该陈述为П[，1][0]，或为当前目的更粗略地说，它是一个全称陈述，其每个实例都可以在系统中得到检验。

     (35)2005年，我在布宜诺斯艾利斯报告了该演讲的一个版本。阿尔贝托·莫雷蒂(AlbertoMoretti)怀疑对哥德尔定理的非构造性证明而言，是否有必要制造一个特别的陈述，假定我们完全不担心构造性的证明。然而，有一个特别的例子不仅是漂亮的，而且它对哥德尔第二不全性定理的证明也是必要的。比如，在PM中证明Con(PM)→G。因此，倘若PM是一致的，则G不可证，从而Con(PM)也不可证。因此，无论考察什么系统，都需要一个特别的陈述G。

     (36)感谢乔纳森·伯格(Jonathan Berg)转录原来的演讲。特别感谢加里·奥斯特塔格(Gary Ostertag)和罗米·纳帕德罗(Romina Padró)在准备当前版本时提供的帮助。本文的完成得益于纽约城市大学研究生中心克里普克中心的资助。

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