一个伟大的数学家创造力衰竭时的幽怨告白
2015/8/16 哲学园

     Godfrey Harold。卒于剑桥 。13岁进入以培养数学家著称的温切斯特学院。1896年去剑桥三一学院,并于1900年在剑桥获得一个职位。同年得史密斯奖。以后,在英国牛津大学、剑桥大学任教授。他和J.E.李特尔伍德长期进行合作,写出了近百篇论文,在丢番图逼近,堆垒数论、黎曼ξ函数、三角级数、不等式、级数与积分等领域作出了很大贡献,同时是回归数现象发现者。在20世纪上半叶建立了具有世界水平的英国分析学派。

     选自《一个数学家的辩白》

     G·H·哈代

    

     §1

     如果一个数学家发现自己在写关于数学的东西,他会感到很忧伤的。因为数学家的工作是做实事,比如证明新定理,使数学有所发展,而不是谈论自己或别的数学家干了些什么。

     政治家蔑视时事评论家;画家蔑视艺术评论家;生理学家、物理学家或数学家一般都有类似的感觉。做事者对评论者的蔑视是最深刻的,总的来看也是最合理的。解释、评论、鉴赏是次等工作。

     我曾与豪斯曼(Housman)有过几次认真的交谈,我能记得其中有一次我们争论过上述看法。豪斯曼在他所作的题为《诗歌的名与实》的报告中,曾非常坚决地否定他是个批评家。而在我看来,他的这种否定方式是异常偏执的。在报告中,他还表达了对文学批评的赞赏态度。这些都令我大惑不解。

     在此报告的开头,他引用了22年前在一次演讲中的一段话:

     我不能说文学批评是否为上帝从他的珍宝库中拿出来赐予我们的最好礼物,但是,好像上帝是这样认为的。因为在赠送这一礼物时,上帝的态度肯定是极为审慎、郑重的。与遍地丛生的草莓相比,演说家和诗人……是稀罕的;但与哈雷彗星的回归相比,他们就平常得多。而文学评论家可就不那么平常了。

     接着他写道:在这22年中,我在一些方面取得了进步,而在另一些方面退步了。但是,我的进步还没使我达到成为一名文学评论家的程度,而我的退步也没有使我幻想自己已经成了一名文学评论家。

     我曾认为,一位伟大学者和高雅诗人写出这些话来未免可悲。过了几个星期,我在餐厅见他就在我身旁时,便大胆地跟他说了自己的想法。我问他,他的意思是否真的希望人们非常认真地对待他说的话。我还问他,在他看来评论家与学者及诗人的生活是否可以相提并论。整个晚餐时间我们都在争论这些问题。我认为最终他还是赞成了我的看法。看来对这样一个不再反驳我的人,我没必要宣扬我所获得的胜辩。但是最后,他对第一个问题的回答是“也许不完全是”,而对第二个问题的回答则是“大概不是”。

     对豪斯曼的感觉或许尚有令人怀疑之处,而且我也并不希望宣称他是站在我这边了。然而作为科学家的感觉是毋庸置疑的,我有着完全一致的感觉。假如那时我发现自己正在写的不是数学,而是“有关”数学的什么东西,那就是在声明弱点,为此我理所当然地会受到更年轻、更富有朝气的数学家的蔑视。现在我写书来谈论“关于”数学的问题,是因为我也和其他的年过六十岁的数学家一样,不再有新思想,也不再有精力和耐心来继续有效地进行自己的专业工作。

     §2

     我建议对数学进行辩解。也许有人会跟我说这根本没必要,因为,不论原因如何,目前还没有哪一种学科被公认为比数学更有用、更值得称颂的。这或许是真实的。实际上,由于有了爱因斯坦的惊人成就,星体天文学与原子物理学可能已成为普遍高度评价的科学。数学家现在不必认为自己在自卫,因为他不会遭到像布拉德雷(Bradley)在他的值得钦佩的形而?

     学辩护词中所描绘的那种对抗的处境,那次卓有成效的捍卫使一部介绍形而上学的书《现象与实在》(Appearence Reality)得以完成。

     布拉德雷说,有人会对一个形而上学家说,形而上学知识整体而言是不可能的;即使在某种程度上是可能的,实际上它也决不是名副其实的知识。形而上学家还会听人说:“同样的问题,同样的争论,同样的彻底失败。为什么还不放弃这种知识?难道再也没有别的事值得你付出劳动丁吗?”没有人会愚蠢到用同样语言讨论数学问题。数学的大部分真理都是显而易见的;数学的实际运用,如在桥梁、蒸汽机和发电机等正冲击着人们迟钝的想象。没有必要说服公众让他们相信数学是有用的。

     这一切都以其独特的方式让数学家感到欣慰,而真正的数学家几乎不可能对此感到满足。任何一个真正的数学家一定会体会到,数学的真正美名并不是基于这些粗略的成就,数学之所以享有普遍的美名很大程度上是基于无知与混乱,因此,仍有必要对它进行更合理的辩解。不管如何,我有意来试试。我想这种辩解比起布拉德雷的艰难的辩白来,任务该会简单些。

     接着我要问:“数学为什么值得人们进行认真的研究?一个数学家用一生的时间从事这些工作的充足理由是什么?”像人们希望一个数学家所回答的那样,在多数情况下,我会这么回答:我认为数学研究值得做,而且以数学家为职业的理由是充分的。但是同时我也要说:我对数学的辩护也是为我自己辩护。我的辩解在一定程度上是利己的。因为假如我真的把自己看作是一名失败的数学家,我就不认为对自己所研究的学科进行辩解是件值得做的事了。

     在辩护中带着某种程度的利己主义的态度是难免的,我想,对这一点是用不着辩解的。我认为“谦卑”的人做不出优秀的工作。比方说,在任何一个学科里,教授的首要职责之一就是对自己这一学科的重要性以及自己本人在这一学科的重要性进行一点夸大。假如一个人总在问自己:“我所做的事是值得做的吗?”以及“我做这个合适吗?”这都会使自己永远无能而且也让别人泄气。这种人该把眼睛闭上一会儿,更多地考虑自己的学科和自己本人的情况,而不是更多地考虑学科与自己所应得的报酬。这不太困难,因为更加困难的是依靠紧闭眼睛来使自己的学科与自己本人不受他人所嘲笑。

     §3

     一个人在开始为自己的生活和活动的合理性进行辩解时,必须要认清两个问题。第一是他所做的工作是否值得做;第二则是他为什么要做这一工作,而并不在乎其价值。第一个问题常常很难且答案让人失望。而大多数人会觉得回答第二个问题却是十分容易的。如果这些人是诚实的话,他们通常会采取两种形式中的一种。第二种形式仅仅是第一种形式的更简略的变形。而第一种形式是我们需要考虑的惟一形式。

     我之所以做我的事,因为这事是,而且是惟一的一件我完全可以做好的事。我是个律师,或者是一个股票经纪人,或者是一个职业板球手,这都是因为我对这一特别的工作有些真正的才能。我做律师,是因为我伶牙俐齿,而且对法律之微妙感兴趣;我做股票经纪人,是因为我对股市行情的判断迅速而准确;我做职业板球手,是因为我挥拍非同一般地好。有人说,我做个诗人或数学家也许更好,但不幸的是,我并没有才能做这样的工作。

     我并不认为大多数人能够做出上述那样的辩解,因为多数人什么工作也做不好。可是只要这种辩解说得振振有词,它就很难反驳,事实上只有少数人能进行这样的辩解:也许只有5%或 10%的人可做得不错。而只有极少数人可做得真正好。而能做好两件事的人只有寥寥无几的了。假如一个人有真正的才能,他就应该乐于牺牲几乎所有的一切,以充分发挥自己的才能。

     约翰逊(Johnson)博士赞成这一观点,他说:当我告诉他,我看过约翰逊(与他同名的人)骑在三匹马上,他说:“先生,这样的人应得到鼓励,因为他的表演显示了人类的能力限度……”

     同样地,他会赞扬登山者,海泅渡者,闭目下棋者。至于我的?法,我也是将这些能力统统视为非常不一般的成绩。我甚至还称道魔术家和口技者;当阿廖欣(Alekhine)和布拉德曼 (Bradman)在决定破记录时,假如他们失败了,我会极为失望的。在这种情况下,约翰逊博士同我与公众的感觉是一样的。正像W·J·特纳 (Turner)曾说过的一句实话那样:只有那些自以为“博学”的人(令人产生不悦之感之称谓),才不去赞扬“真正的名家”。

     当然我们不能不考虑到以上两种工作之间价值上的不同。我宁愿做一个小说家或画家,而不愿成为政治家或诸如此类的人物。事实上,尽管有很多成名之路,但我们大部分人会因其甚为有害而宁可拒绝走这样的路。但是这种价值的不同,很少会改变一个人的择业范围,因为这种职业的选择是受着人们生就的能力限度的制约的。诗集比板球更有价值,但假如布拉德曼放弃板球去写二流小诗(我想,他不大可能会写得更好)的话,他一定是个傻瓜。假如他的板球打得并不那么超众,而诗歌却还写得好些,那么对他来说选择就更加困难了。我不知道自己是成为特朗普尔(Trumper)①还是布鲁克(Brooke)②。值得庆幸的是像这种左右为难的情况很少出现。

     我还想补充说一点,他们特别不可能指望自己成为数学家。人们常常过分夸大数学家与其他人的思维过程的不同。但不容否认的是,对一个数学家来说,他的天赋是他诸多特殊才能中的一方面。数学家们作为一个阶层,并不因一般的能力和多才多艺而格外超群出众。假如一个人成为任何意义上的真正的数学家,那么,可以说他的数学百分之九十九会比他能做的任何其他事都好得多。而假如他为了做其他领域的普通工作,而放弃了任何一次发挥自己才能的适宜的机会,那么他就是愚蠢的。这样的牺牲,只有在经济需要或年龄条件变化的情况下才是情有可原的。

     §4

     在这里,我最好还是谈谈年龄问题,这是因为对数学家来说,年龄问题格外重要。数学家们都不应该忘记这一点:比起其他技艺或科学,数学更是年轻人的工作。举一个相对低微阶层的例子来作个浅显的说明:皇家学会的人选者的平均年龄以数学家为最小。

     当然,我们还会找到比这更有力的实例。比如,我们可以考察作为世界最著名的三大数学家之一的牛顿的经历。牛顿是在 50岁时放弃数学的。其实,在这之前很久他就已经对数学失去了热情。40岁时,他已毫不怀疑地认识到他的富有创新精神的时期已经过去了。他所有的最伟大的思想,包括流数术和万有引力原理是他在1666年建立的学说,而当时他只有24岁。正如他曾叙述的:“在那些日子里,我处于富有创造力的最初期,那时比以后的任何时期都更加一心一意地把数学和哲学挂在心上。”在 40岁以前他有过不少重大发现(“椭圆形天体运行轨道”就是他在37岁时发现的)。而其后,他再没有作出过什么发现,而只是对原有的论文做些润色工作,使之完美化而已。

     伽罗瓦21岁去世,阿贝尔27岁去世,拉曼纽扬33岁去世,黎曼40岁去世。也有些人确实是在较晚时取得伟大成就的,高斯就是在55岁时才发表了他的微分几何学的重要论文(但在十年前他就已经形成了他的基本思想)。我还不知道有哪一个重要的数学进展是由一个年过半百的人创始的。假如一个年长的人对数学不感兴趣而放弃了它,这种损失不论对数学本身还是他本人来说,都不十分严重。

     另一方面,如果这样的人不放弃数学,那么所获得的利益也并不可能更富有实质性的意义。有关一些数学家放弃数学以后的情况记录都不特别令人欣慰。牛顿成了一个能干的造币厂主 (这时他没与任何人吵架)。班乐卫(Painleve)是个不成功的法国总理。拉普拉斯(Laplace)的政治生涯却是极不光彩的,他的情况几乎算不上是一个合适的实例,因为他在政治生涯中的坏名声不是他的无能,而是因为他不诚实所造成的,而且他也向来没真正地“放弃”数学。的确很难找到一例事实来说明一个放弃了数学研究的一流的数学家却又在别的什么学科领域里取得了一流成就――帕斯加(Pascal)看来是最好的一例。也许会有这样一些年轻人,放弃了数学研究之后又东山再起成为一流数学家了,可惜我还从未听说过这样的真正可信的实例。而上述一切,全都产生于我的十分有限的经历。我所认识的每个有真才实学的年轻数学家都是潜心于数学研究的,他们忠诚于数学研究,也不乏雄心壮志,只是缺少充实的数学知识;他们已全部认识到:假如有什么通往能带来任何殊荣的人生之路的话,这条路就是数学研究之路。

     §5

     另外还有一种形式的回答,即我所称之为标准辩解的“低调变辞”。我可能会只用几句话来简略表述它。

     “没什么事我可以做得格外地好。我之所以做我的事,是因为它进入了我的生活之路,我的确从来未有机会做别的什么事”。我也把这一辩解看作是重要的辩解而接受。确实,大多数人什么事也做不好。因此,他们选择什么职业也无关紧要。这确实没什么更多好说的。这是个最终的明确回答,但这几乎不可能是一个具有自尊心的人所作的回答;我想象得出我们没有一个人会对这样的回答感到满意。

     §6

     现在应该考虑在§3我所谈到的问题了。这个问题比第二个问题难得多。数学,即我和其他的数学家所认为的数学这一学科,是否值得研究?假如值得,理由是什么?

     我一直在回顾着我的一篇讲稿的头几页(那是我于1920年在牛津大学就职时的首次演讲)。在那几页中我写到了有关对数学进行辩解的要点。这种辩解是不够的(只写了不足两页纸),而且其文体风格现在看来并不使我感到特别自豪(我想,这可能是我用当时想象为“牛津”风格写成的第一篇论文)。但是我仍然觉得,不论它需要怎样改进,它还是包含了问题的实质。这里我愿重新把原来说过的话拿来作为全面讨论的前言。

     (1)首先我要强调数学的“无害性”。也就是说,“即使数学研究无利可图,但它也绝对是无害而清白的职业”。我坚持这一点,当然它需要大量的扩展和解释。

     数学真的是无利可图吗?显然,在某种意义上并非如此。比如,它为不少的人带来了很大的快乐。然而我是从更狭隘的意义上来考虑所谓“利益”的。数学是否有用,是否像化学和生理学等其他科学那样有直截了当的用途?这并不是一个容易回答或无可争议的问题。尽管有一些数学家和大多数外行会毫无疑问地作出肯定的回答,但我最终的回答还会是否定的。那么数学是“无害”的吗?对此,回答也是不确定的。在某种意义上我宁可回避这个问题。其理由是它提出了科学对战争的影响问题。例如,化学在这方面显然是有害的,那么是否可以说数学在同样的意义上是“无害”的?以后我一定回头再来谈这两个问题。

     (2) 当时我还接着说“宇宙的范围很大,所以,如果我们在浪费着自己的时间,那么浪费大学里几位名家、教授的生命决不会带来了不起的大灾大难”。这里我或许像是要采取或故意装出虚伪的谦卑态度,而这种态度是我刚刚所反对的。我确信,这种态度并不是我真正意愿中的态度,我是企图用一句话把我在§3里所谈的冗长的内容概括出来。我在想,我们这些名家、教授确实没有多少才能,而我们应尽可能地充分发挥运用这些才能才是。

     (3)最后(以一些对我来说如今读起来仍感夸张的修辞),我强调了数学成就的持久性―即使我们所做的工作也许很少,但都有着某种持久性的特点;我们所完成的任何事情,无论是一本诗集还是一条几何定理,只要能引起哪怕是最微小的但却是永久的兴趣,也就意味着已经做出了完全超出大部分人的能力的事情。

     我还写道――在古代与现代研究有冲突的今天,对于某一门研究来说,一定存在某些值得一谈的东西,而这种研究并非始于毕达哥拉斯,也不会止于爱因斯坦,但它却是所有研究学科中最古老的,也是最早轻的。

     所有这一切都是“言过其实”的,但在我看来,其实质仍包含着真理,对此,我可以马上进行扩展,同时又不致过早涉及我所留下的其他没有回答的问题。

     §7

     我会设想我是在为那些现在和过去都满怀雄心壮志的人写这本书的。一个人的首要任务,进一步说,一个年轻人的首要任务是能显示雄心壮志。雄心是一种可以合情合理地以许多形式表现出的一种宏大高尚的志向。阿提拉(Attila)和拿破仑的野心中就有某种高尚的志向,但最高尚的雄心壮志是在自己身后留下某种永存的价值――

     这平坦的沙滩上,海洋与大地间,我该建起或写些什么,来阻止夜幕的降临?

     告诉我神秘的字符,去喝退那汹涌的波涛,告诉我时间党潜ぃ?

     去规划那更久的白昼。

     雄心是世上几乎所有最佳工作成果的驱动力。特别要指出的是:实际上,一切为人类谋幸福的重大贡献都是由具有雄心壮志的人所作出的。举两个著名的例子吧,利斯特(Lister)和巴斯德(Pasteur)不就是这样的有雄心壮志的人吗?还有,不像以上两位那么显赫的另外几位,吉勒特(Gillette)和威利特 (Willett),近期有谁比得上他俩对人类所作的贡献呢?

     生理学为我们提供的实例特别适宜,原因就在于这门学科对于人类所具有的益处是如此显然。我们必须提防一种在科学辩解者中所常见的谬论,那就是认为从事着对人类有益的工作的人,在做这项工作时一直想着自己的工作对人类有益。比方说,生理学家有着特别高尚的精神。事实上,一个生理学家可能确实乐意记得他的工作是为人类造福的,但是使之产生力量,受到鼓舞去做这项工作的动机与那些一流学者与数学家进行研究工作时的动机是没什么区别的。

     有很多高尚的动机驱使人们进行某项研究。在这些动机中,最为重要的有三种。首先(因此必一事无成)是理智的好奇心,也就是对了解真理的渴望。其次是对自己专业工作的自豪?

     ,只有工作才能使自己得以满足的那种渴望。任何自尊的数学家,当他的工作与其才能不相称时,耻辱感会压倒一切。最后一个就是雄心壮志,期望得到名声、地位甚至随之而来的权力和金钱。当你的工作为他人造了福,又解脱了别人的痛苦时,你可能会自我感觉良好,但这不会是你为什么做那个工作的原因。所以,假如一个数学家,或者一个化学家,或者甚至是一个生理学家真的对我说他的工作的动力是缘于要为人类造福的愿望,我不会相信他 (假使我真的相信他也并不会认为他真的有什么了不起)。在他的动机中居支配地位的就是我已叙述过的。而且可以肯定,任何一个体面的人都没有必要为有这些动机而感到耻辱。

     §8

     假如理智的好奇心、对专业工作的自豪感和雄心壮志是在研究工作中占支配地位的动机的话,那么,毫无疑问,没有哪个人比一个数学家有更好的机会来满足这些条件了。数学家的研究学科是所有学科中最令人好奇的。没有哪门学科中的真理会像数学那样奇异。数学是最精细与最富有魅力的技艺,而且数学研究提供了展示真正的专业技能的机会。最后我还要说的是,正如历史所充分证明的那样,不论数学内在的本质价值何在,其成就是一切成就中最持久的。

     我们可以从半古文明中看到这一点。巴比伦和亚述的文明已毁灭,汉谟拉比 (Hammurabi)、萨尔贡(Sargon)和尼布甲尼撒 (Nebuchadnezzar)也都空有其名了,但巴比伦数学依然令人感兴趣。巴比伦的60进制仍用于天文学中。当然希腊的情况是更有说服力的例证。

     对我们来说希腊人是最早而且至今仍是“真正的”数学家。东方的数学可能是满足兴趣和好奇,而古希腊的数学则是实实在在的。希腊人率先使用了能被现代数学家所理解的数学语言。正如利特伍德曾对我说过的,希腊数学家们在校时并不是聪明的乖学生,也不是“奖学金的候选人”,而是“另一所学院的研究员”。因而希腊数学是“不朽的”,甚至比希腊的文学还要持久。当爱斯奇里斯(Aeschylus)被遗忘时,阿基米德仍将为人们铭记,因为语言文字会消亡,而数学的思想却永不会死亡。“不朽”这个词可能不太高明,不过也许数学家与它的含义最投缘了。

     数学家不必因将来会对其不公而煞有介事地忧心仲忡。不朽通常很荒唐,也很残酷:我们中很少有人愿意选择做奥格 (Og)③、安厄尼厄斯(Ananias)④、加利奥(Gallio)⑤。甚至于在数学界,历史有时也会开奇怪的玩笑:罗尔(Rolle)在初等微积分学教科书中很有名气.倒好像罗尔是位与牛顿齐名的数学家;法里(Farey)弄不懂14年前由哈罗斯(Haros)论证得天衣无缝的定理,然而他却永垂不朽;五位可敬的挪威人的名字至今仍长存于阿贝尔的《生活》一书中,仅仅是因为一种对他们国家最伟大的人物造成了伤害的愚蠢的尽职行为。不过,就总体而言,科学史还是公平的,数学史尤其如此。没有任何其他学科像数学那样形成了清楚而一致的评判标准。为人们所铭记的数学家中绝大多数足名剐其实的。如果能用现钞评估的话,数学的名誉将是最稳定义最可靠的投资。

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