笛卡尔“普遍数学”的方法论意义初探

笛卡尔“普遍数学”的方法论意义初探
2015/9/9 哲学园

     一、问题的提出

     “普遍数学(mathesis universalis)”是笛卡尔早期的一部未完成的著作Regulae ad Directionem Ingenii [1] 中的核心概念。这个概念似乎注定日后会在笛卡尔著作的诠释者们中间产生种种分歧。作为核心概念，它无疑是重要的――现在所看到的《原则》的全部篇幅都是用来阐述这一概念的，但这种阐述却又是未完成的。同时，另一个事实更在这个难解的概念上增添了一层迷雾：笛卡尔在其后来发表的著作中从未再次使用“普遍数学”这个术语。因此，这个概念就成了笛卡尔研究中的一个公案。《笛卡尔词汇》一书的作者指出：“笛卡尔‘普遍数学’的本质至今仍然是非常有争议的。一些诠释将它确认为后来被废弃了的某种数学技术，另一些诠释却将它理解为某种(不限于数学的)更宽泛的方法。”[2]

     尽管如此，只要认真读一读《原则》，并不难确知“普遍数学”决非一般意义上的数学，更不是数学的某个分支或技术，而是一种“探求真理”的普遍方法。这个方法虽然不等同于一般数学，却与数学有着某种深刻的联系。哲学史家和笛卡尔的诠释者们都知道，笛卡尔去世后，他的密友夏钮(Chanut)为他撰下了这样的墓志铭

     在那个冬季的闲暇中

     将数学[的法则]与自然的秘密相对照

     他大胆地希望

     能够用同一钥匙揭开两者[的迷题][3]

     其中说的那个冬天的一个夜晚，笛卡尔连着作了三个梦。他在这些梦中得到了启示，将其一生的目标确定在对探究真理的方法的寻求上。这个方法，正如墓志铭中所表示的，与数学有着某种直接的关系。《原则》就是笛卡尔这一追求的第一个系统(虽然未完成)的结果。由此可见，上面提到的两个关于“普遍数学”的不同理解中，后一个是比较合理的。当然，在《原则》之后的著作中笛卡尔再也没有使用 “普遍数学”这个术语，这一事实无疑为前一种理解的提供了至少是心理上的支持。但是，如果不是停留在这个简单直接的事实上，而是深入到《原则》及其后的笛卡尔著作的内容本身中去，就不难看到，例如，笛卡尔后来唯一专讲方法论的《方法谈》中高度概括的四个原则与《原则》便有着直接的对应关系[4]；在笛卡尔最后一部著作《哲学原理》中，“普遍数学”的思想也得到了充分体现[5]；而《几何学》则可以说是笛卡尔《原则》中“普遍数学”方法的一个重要的具体运用[6]。所以上述后一种理解的合理性并不会因为笛卡尔后来的著作中不再出现“普遍数学”一词而有所减损。真正对这种理解构成威胁的，是这种理解本身所存在的缺陷，即它虽然肯定了“普遍数学”是笛卡尔所倡导的一种普适的方法论原则，但却不能对其方法论意义和内容有一个充分的阐释和明确的界定。概言之，在“普遍数学”的内涵始终不清楚的情况下，任何关于它的断言都不可能具有所希望的确切性和可靠性。因此，摆在我们面前的真正问题依然是：什么是“普遍数学”的方法论意义及其内容？并且，尽管不应否认笛卡尔后来的著作与《原则》的联系，但笛卡尔未能在其(多少有些意外地)去世之前专门回到“普遍数学”这个未完成的主题上来，这也的确在其学说系统中留下一个令人遗憾的空白。因此，研究和发掘《原则》，特别是“普遍数学”概念的方法论意义，无论从单纯的经典考据还是从阐发其“微言大义”上来讲，都具有特别的重要性。

     二、《原则》中对“普遍数学”的定义

     在《原则》的“第四原则”中，笛卡尔表明了什么是他称之为“普遍数学”的科学：

     谁要是更细心加以研究，就会发现，只有其中可以觉察出某种秩序和度量的事物，才涉及mathesis，而且这种度量，无论在数字中、图形中、星体中、声音中，还是在随便什么对象中去寻找，都应该没有什么两样。所以说，应该存在着某种普遍科学，可以解释关于秩序和度量所能够知道的一切。它同任何具体题材没有牵涉，可以不用借来的名称，而采用已经古老的约定俗成的名字，叫做普遍数学(mathesis universalis)，因为它本身就包含着其他科学之所以也被称为数学的组成部分的一切。[7]

     这一对于“普遍数学”的定义告诉我们，首先，“普遍数学”区别于物理学的地方，在于它体现了物理学的一般的认识论和方法论特征，即秩序和度量，而不针对具体的物理学对象。因此，它是有别于力学、光学等物理学内容的一般方法论。其次，“普遍数学”也不同于算术和几何这些具体的数学学科。笛卡尔曾专门强调了“普遍数学”与一般意义上的数学之间的区别。他说道：“虽然我的意图是详尽谈论图形和数字，因为从其他科学是不可能得到这样明显而确定的例证的，但是，凡是愿意细心考察我的看法的人，都不难觉知：我这里想到的并不是普通数学(vulgari Mathematica)，我要阐述的是某种其他学科，与其说是以它们为组成部分，不如说是以它们为外衣的一种学科。因为，该学科理应包含人类理性的初步尝试，理应扩大到可以从任意主体[8]中求得真理……它是一切学科的源泉。”[9]那些普通的数学不能在自身中阐明自己的根据，这正是笛卡尔在讲述自己的学习体会时向我们表明的：“在数学方面，我读了不少东西，经过计算，证明是真实的；在图形方面，固然他们[那些作者――引者注]以某种方式让我看见了许多，他们而且是从[理性的]某些结果作出那些结论的；但是，他们似乎没有向我们的心灵指明其所以然，也没有指明如何知其然。”[10] 因此，笛卡尔需要一种比一般意义上的数学更为深刻并能够作为后者根据的理论，毫无疑问，它就是“普遍数学”。最后，笛卡尔对“普遍数学”的定义表明了他的理性主义的一个根本特征，即将事物的可理解性归结于秩序和度量。无秩序不可以理解，无度量理解不可以精确。“普遍数学”之所以能够是“普遍的”，即同时作为物理学的一般方法论和数学科学的根据，正在于它是一般地关于“秩序和度量”的理论：它给出了理解自然的一般法则，确定了如何在经验材料中建立秩序和进行度量的方法论；它因此也说明了数学构造的，从而它之所以能够被应用于物理学的理由，这个理由正是事物的这种可理解性。由此可以设想，笛卡尔之所以挑选mathesis而不用mathematica来表达这样一门方法，正是为了将它与一般数学区分开来。Mathesis的基本含义是“知识”，在古代，人们对知识的理解有两个特点，一是它囊括了今天发展成人文科学、社会科学、自然科学和数学的各种知识的早期形态，并且在这个早期形态中，这些知识是缺乏分化的；二是所有知识中今天发展为数学的那种知识――并非如今天多数人认为的那样仅仅是一种抽象的描述事物量和图形关系的手段――处在中心的位置上，这种情况一直持续到近代的开端。因此，mathesis正好表达了笛卡尔在思考那种普遍的方法论时所想到的东西。[11]

     由此可以得到这样的结论：笛卡尔所设想的“普遍数学”是一种关于事物的秩序和度量的一般方法。数学是它的使用的极好实例，但它不等于数学。它是一种普遍的，可用于一切理性知识的构成的方法。这个方法的根据就是：事物的可理解性只在于其秩序和度量。而能够通过秩序和度量，也就是通过“普遍数学”来认识事物，这是人类固有的禀性。[12]

     三、“普遍数学”的形而上学根据

     (一)广延本体论

     显然，笛卡尔的“普遍数学”定义以及他对于“普遍数学”之对数学和物理学所具有的基础性意义的表述并无含糊不清之处。之所以这个概念从一开始就在诠释者们中间引起了普遍的困惑，乃是因为笛卡尔如此定义的“普遍数学”本身是一个难于把握的东西。即使是在笛卡尔的时代，人们就已经习惯于将数与形作抽象的理解，并且因此将数学的对象与经验科学的对象区分开来。[13] 这意味着，数学与物理学不可能有同样的raison d’être(存在根据)。于是人们对于笛卡尔的作为数学与物理学统一之基础的“普遍数学”的含义也就无从体会了。显然是由于对这一情况有所意识，笛卡尔在“第十四原则”的说明中，对“普遍数学”的存在根据，或者说它的本体论根据，做了专门的论述。

     对于笛卡尔来说，“普遍数学”的存在根据就是广延性。广延性，或者说空间，乃是数学和物理学的共同对象，正是它使物理学和数学成为可能。那种区分有感性内容的空间和纯粹或抽象空间，将前者理解为物理学的对象而将后者理解为数学的对象的观念，在笛卡尔看来是不正确的，因为这种区分并没有切实的、清楚明白的根据。他指出：

     我们所说的广延，指的是具有长、宽、深的一切，不问它是实在物体，还只是一个空间……这里所说的广延，并不是指任何有别于、孤立于其主体的什么东西，一般说来，我们并不知道有任何这类不属于想象力所及范围的哲学存在物。因为，即使曾经有人相信，例如，如果自然界中具有广延性的一切都可归结为乌有，他也不否定广延本身还可以独自存在，但是为了这样一种构想，他所使用的不会是有形体的观念，而只会是会作出错误判断的知性。这是他自己也会承认的，如果他仔细思考他那时将竭力在想象中构造的那种广延形象本身：事实上，他将注意到，他对它的知觉并不脱离所有主体，他对它的想象却不同于他的判断；因此，无论知性对于事物真理如何设想，这些抽象物在想象中的形成绝不会脱离它们的主体。[14]

     在这里，笛卡尔告诉我们，我们能够脱离物体的观念来设想的抽象空间，乃是知性的认识，不过却是一种包含了错误的认识。错在何处呢？错在这种知性的空间观念并非真实的，因为这种空间是不能为想象力所把握的。如果我们的广延观念是真实的，则它“必然包裹着物体概念”，于是，当我们说“广延不是物体”的时候，这个说法本身就有自相矛盾之嫌。[15] 因此，正确的认识并不主张将广延与具有广延性的物体分离开来。抽象的与事物无关的空间是不真实的。为了得到真实空间的概念，我们必须借助于想象力。这意味着，广延或者空间只能是一个直观的而非“作出错误判断的知性”[16] 的概念。要理解这样一种直观也许并非易事。笛卡尔告诉我们如何去达到这样的直观：

     如果我们研究的是图形，则让我们认为所处理的是一个有广延的和只有在理智中形象地表现出来才能加以认识的主体；如果是一个[立]体，让我们认为所处理的同是有广延的主体，但作为长、宽和深来研究；如果是一个[表]面，让我们设想同样的主体，作为长和宽，略去深但却不否定它具有深；如果是一条直线，则只作为长来研究；最后，如果是一个点，设想同样的主体，略去一切而只除了它是一个存在物。[17]

     多么奇特的东西!然而却是唯一正确的。只有这样，我们的几何学家才能够在一边说着没有宽度的线，没有深度面，一边却让这些线来生成面，让这些面来生成体的时候依然心安理得――这只是一种权宜的表述而已，真实的情况是，即使是几何学的点，在本体论上也是一个“体”。同样的道理完全适用于“数”的概念。“关于数字，有这样一个问题：我们想象主体可以用若干单位来度量，这时知性尽可以仅仅思考这个主体的多复性，但我们仍应当心，不要使知性随后得出结论，以为我们已从我们的概念中排除了被数之物……”[18]

     这一切立即使我们想到毕泰戈拉的“有空间的数”[19]。笛卡尔关于数学和物理学统一的，也即是“普遍数学”的形而上学基础――广延性――的观念的确与毕泰戈拉学派的“数”的本体论，或者柏拉图学园的“数型论”有着深刻的关联。因此，我们就不难理解笛卡尔何以会说下面的话了：

     最早揭示哲学的那些先贤。只肯把熟悉mathesis的人收为门生去研究人类智慧，他们大概是觉得：为了把人们的才智加以琢磨，使之宜于接受其他更为重大的科学，这一学科是最为便利、最为必要的。当我这样想的时候，我不觉有点猜测：他们所知的那个mathesis大概同我们这个世纪流行的非常不一样。……自然最初撒播于人类心灵的真理种子，由于我们日常读到或听人说到的谬误太多而在我们内心中湮没的真理种子，在那质朴纯洁的古代，其中的某些却仍然保持着原来的力量，以至于古人受到心灵光芒的启示，虽然不知其所以然，却……也认识了哲学中和mathesis中的真正思想，尽管他们还达不到这两种科学本身的高度。[20]

     因此，数学的对象并不是抽象的观念，而是真实的存在。这种存在与物理学的对象其实是同一的，即广延。[21] 正如笛卡尔将数学的基础放在非抽象概念的广延上可以说是一种对于数学的“物理学化”一样，这种将数学和物理学统一在广延上的观点也必然包含一种对于物理学的数学化。这后一情况中含有一种十分彻底的还原论，即将一切物理现象，也就是它的可区分性，还原到空间关系上。[22] 笛卡尔的这种物理学还原论显然是直接建立在他关于物质本性在于广延性的思想上的。这一思想笛卡尔贯彻始终。在他的最后一部著作《哲学原理》中，他以十分清晰的语言说道：

     我们很容易知道，同一广延构成了物体的本性，也构成空间的本性……如果为了更好地认清我们对于物体的真正观念，我们以一块石头为例，从它那里去掉我们知道其并不在本质上属于这个物体的一切。则我们首先从中去掉它的硬度，因为如果我们将这块石头化为……粉末，它将不再具有硬度，然而却并不因此失其为物体；再去掉其颜色，因为我们有时曾看到过一些那样透明以致于无色的石头；去掉其重量，因为我们看火，尽管它非常之轻，亦不失其为物体；去掉其冷、热，以及其它诸如此类的属性，因为我们根本不认为这些属性是在石头内部的，或者因为这块石头并不因为让我们一时感到热一时感到冷而改变其本性。在这样检验了这块石头之后，我们看到我们关于这块石头所具有的真正的观念仅仅在于我们清楚地认识到它是一种以长、宽和深的延展的实体：这个东西包含在我们的空间观念之中，不仅包含在充满物体的空间观念中，而且也包含在我们称为真空的空间观念中。[23]

     通过这种“准现象学的”分析，笛卡尔将广延视为物质的根本性质或唯一本质。他说道：

     整个宇宙间因此只存在同一种质料，我们仅仅通过它是广延的来认识它；我们在其中清楚地觉知到的所有性质，都可以溯源于它之能够依其各部分被分割和运动……[24]

     不难理解，这样得到的空间概念绝非通常的所谓抽象概念。上面对空间的“抽绎”亦非通常的概念抽象，它不像从“红”、“黄”、“蓝”等颜色概念中抽象出“颜色”概念，因为“颜色”概念本身并非任何一种颜色，而空间却将构成“觉知到的”物质的“所有性质”，一如“点”构成“线”，“线”构成“面” 那样。正是在这种统一了数学(首先是几何学)与物理学，统一了数学世界与物理世界的本体论基础――广延性――上，“普遍数学”的思想得以确立。

     这种将全部的物质存在归结为其广延性的理论，我们称之为“广延本体论”。作为实体的广延，与精神和上帝，构成了笛卡尔哲学本体论的基本内涵。

     (二)、实在的“几何学化”

     广延本体论为笛卡尔提供了宇宙的终极图景，从而构成了笛卡尔的自然科学的终极解释项。在“第十二原则”中，笛卡尔提出了这样的思想：

     形状的构想是最为普遍、最为简单的，因而任何可感知的事物中都包含着它。简言之，你纵然可以随意把颜色假设为什么，你总不能否认它有其广延，从而它是有形状的。因此，要是我们这样做，又有什么不好呢：即，力戒冒冒失失地炮制或毫无用处地接受任何新的存在物，也不因而就否认别人曾可能作出的关于颜色的判断，我们从颜色中排除任何其他[因素]，只保留它的形状本性，设想白、蓝、红等等的互相差异是同下面这些形状之类的互相差异一样的：

     对一切事物都可以这样说，因为，确实无疑，图形的数量是无穷无尽的，足以表示可感知的事物之间的一切差别。[25]

     按照这个思想，一切的感知现象，或者说事物的任何可区分性，都可以归结为某种空间关系。因此，物理学的目的也就是不断地探索将现象，如这里所说到的颜色等还原为空间关系的途径。在这种观念的指引下，笛卡尔给出一个与中世纪占统治地位的亚里士多德的宇宙全然不同的宇宙图景。笛卡尔认为，为了说明宇宙间的物理现象，只需要设定三种基本的元素就行了。他将它们分别称为“火”、“气”和“水”，但绝不是亚里士多德的“四元素”中的“火”、“气”和“水”。因为笛卡尔的这些元素的内在规定并不是“热、冷、湿、干”等性质，而是其广延性，即，这三种基本元素的区别仅仅在于它们的空间性质，因此与作为感知现象的火、气和土并无什么关联，所以笛卡尔更多地只是称它们为“第一种元素”、“第二种元素”和“第三种元素”：第一种元素是“一种液体，是世界上最为精细，最具穿透力的。……会在任何方向上，以任何方式被它所遭遇到的其它物体所分割，并且它的部分总是改变形状，以便顺应它们所进入的地方的形状。”第二种元素虽然也是一种精细的元素，但比起“火”来，“就需要赋予它的每一部分以大小和形状了，并且将它们想象为几乎是很圆的、像沙粒和尘屑一样聚在一起。这就使得它们不致于排列得太整齐、相互之间太紧致，以至于没有总是在它们的周围留有许多小的空隙，”让火元素能够进入其中。第三种元素则比“火”、“气”“更加大并且运动得更加慢”，它自身的运动极少会使自己改变形状。[26] 但即使是这些基本元素，也还不是笛卡尔的宇宙本体论形象，而只是用以说明宇宙现象的基本环节。笛卡尔的宇宙本体论形象，也就是他用以取代亚里士多德本体论中的所谓“第一物质”的东西，“它是一种真正的、完美地刚性的物体，它填充了那……巨大空间的所有长、宽和深度。因此它的每一部分必定都占据了这个空间的一个部分，这每一部分是如此地在大小上比例适当，以至于它不会去填充一个更大的空间部分，也不会挤进一个更小的部分，并且当它持存在某一处时，便不能允许它者在此有一席之地。”[27] 这样的存在，如果是可以设想的话，只能是广延本身。所以笛卡尔说，“它的广延，或它之占据空间的性质，根本不是偶性，而是它的真正的形式和它的本质”。与此相应地，亚里士多德的“第一物质”的错误，正在于“他们企图将它区别于它固有的量和它外在的广延，也就是说区别于它所具有的占据空间的性质。”[28] 这样，我们就看到了近代科学革命的关键，即宇宙(空间)的同质化。即，宇宙或自然对象的多样性最终将归结为广延性的种种情态，它具体表现在空间关系或运动的无限多样的变化形式中，除此之外，它们并无任何本性上的不同。这种同质化直接导致了对于近代物理学至关重要的第一性质与第二性质的区分[29] 和物理学数学化的可能。正因为如此，笛卡尔在1638年给麦森纳的信中说道：

     我决心离开的只是抽象的几何学--即那种只是为了锻练精神而对于问题的研究，这是为了能有更充裕的时间致力于另一种几何学，它给自己提出的问题是解释自然现象。因为如果谁愿意思考一下我关于盐、雪和虹等所写过的东西，他就完全能意识到我的全部物理学不是别的正是几何学。[30]

     四、作为方法的“普遍数学”

     我们已经知道，广延本体论为笛卡尔确立作为数学和物理学，从而整个自然科学的普遍方法的“普遍数学”奠定了基础，但“普遍数学”要成为一种能够实践的方法，就不能只停留在这个基础上，它必须成为一个为数学和物理学所共同依据的构成性的原则或形成这样一种普遍的构成性机制。这个原则或机制，概括地说，就是以“心灵的目光”借助对广延性的直观来发现认识对象间关系的“绝对项”，以“比例关系”来探索这些项之间的关系。为了阐明这个原则，我们首先分析笛卡尔在数学和物理学上使用它的两个案例。

     (一)“普遍数学”与解析几何的创立[31]

     通过揭示出数学的本体论意义，笛卡尔回到了一种能够为朴素的精神所理解却难以为从他那个时代起以后的发展了的精神所接受的洞见[32]：既然数的概念本来就意味着“被数之物”，与某种“有数的物”不可分割，它便不可能真正与广延分开。这样，以数的关系来描述几何空间――它的基础同样在于广延性――就是理所当然的了。并且唯其如此，知性所抽象理解的点、线、面和体在本体论或它们真实存在上才更见其不是异类的东西，以点构成线、以线构成面……才更见其没有任何矛盾之处。这样，我们就可以合理地按着需要对一个对象的广延即空间做量的描述和考察了。例如，如果我们需要考察有长和宽的空间，我们可以用一个小的方形作为单位元来刻划这个空间(即以这个单位元来构成这个空间)；如果所需要考察的只是有长度的空间，则可以用一个小的线段作为单位元，如此等等。“但无论我们以何种方式来描画和思考它，我们永远都明白它在任何情况下都是一个具有广延性的……对象，”而不仅仅是一个抽象而空洞的概念。[33] 在这个基础上，我们就可以在广延上定义基本的算术运算了。例如[34]

     a + b = c

c – a = b

a ·b = c

c / a = b

     至于乘方和开根则可以视为乘和除的特例。显然，正是关于数和形的，也即是算术和几何的本体论统一性的思考，直接引出了几何空间的可度量性。

     “普遍数学”的另一个对象是“秩序”，没有它，我们对于事物的认识，即使是几何学(在这里“秩序”意味着数量间的关系)，也是不可能实现的。而秩序的给出，依靠的是“比例关系”。笛卡尔在这里与他所以为了解mathesis的古代学者们一样，认为事物的秩序唯有通过比例关系来求得。因为所谓对于事物秩序的探究，最终总是要从已知达到未知。而比例关系则是这种从已知达到未知的基本途径。这一点恰恰首先在数学关系中得到最明显的体现。例如在数的序列中从已知项确定未知项。在“第六原则”和“第十一原则”中，笛卡尔对此做了论述。在这里，笛卡尔区分了两类关于确定数的序列(也就是数的序列中项的关系)以及数的序列中的项的基本方式：直接的方式和间接的方式。这两种方式分别针对两种不同的关于数的序列的问题。当我们按着已知的项3、6去连续地确定接下来的项时，采取的是直接的方式。即推知下面的项将是12、24……。如果已知的项为3、12或6、24而要寻求中间的项时，采用的则是间接的方式。通过这个方式，我们得到的中项为6或12。无论是哪一种方式，其实质显然都是一种比例关系。如

     a/b = b/c = c/d，……

     笛卡尔意识到，正是这种非常简单明了的关系，充当了广延或空间的基本秩序。将目光放在数学对象上时，笛卡尔立即看到比例关系与前面说到的那些对于广延(几何空间)的基本运算之间的密切联系。

     算术仅有四或五种运算组成，即加、减、乘、除和开根，后者可认为是一种除法；在几何中，为得到所要求的线段，只需对其它一些线段加加减减；不然的话，我可以取一个线段，称之为单位，目的是把它同数尽可能紧密地联系起来，而它的选择一般是任意的；当再给定其它两条线段，则可求第四条线段，使它与给定线段之一的比等于另一给定线段与单位线段的比(这跟乘法一致)；或者，可求第四条线段，使它与给定线段之一的比等于单位线段与另一线段之比(这等价于除法)；最后，可在单位线段和另一线段之间求一个，两个或多个比例中项(这相当于求给定线段的平方根、立方根，等等)。[35]

     寻着这个线索，笛卡尔发现，通过比例关系可以确定几何曲线并解决相应的几何学问题。他的研究是从“帕普斯问题”开始的。所谓“帕普斯问题”，其实质是通过对一些线段的比例关系的设定来规定出一个曲线。下面是笛卡尔在《几何学》中分析的有4条给定直线(即图1中的实线)时的情形。

     图1

     按照帕普斯的条件可知，只要满足CB和CF的积等于CD和CH的积，C点的的位置就构成了一种曲线，在这里是一种圆锥曲线。具体解法为：

     (1)由于假定C点是已知的，所以可以设线段AB和BC分别为x和y，线段AE和AG为给定的，记为k和l。

     (2)令AB/BR = z/b，有RB = xb/z，得CR = y + bx/z。

     (3)令CR/CD = z/c，有CD = cy/z + bcx/z^{图2

     然后，他再以小球之穿过脆薄的布所产生的变化来类比光线在穿越不同介质的界面时所发生的变化来研究光的折射。他假设小球在穿过布面时会损失一半的速度。在这种情况下，依然是将小球的运动能力和它的运动方向的规定性区别开来，分别对它们加以分析(如图3)。首先是小球因为穿越布面损失了一半的运动能力，所以到达点B后的小球到达图中圆周上所需要的时间将是它从点A到达点B的两倍，而在这两倍的时间内，它在水平方向上的运动将使它到达直线FE上。因此，点I是FE与圆周的交点，从点B向点I引出的直线就是光的折射线。



     图3

     根据上面的道理，再加上几条直接由经验得到的假设，如光在“较硬的”介质中受到的阻碍较小，入射光线越是倾斜通过界面时其运动受到的改变越大等，笛卡尔就得到了光的折射定律：如图4所示，直线CBR上下两半分别为不同的介质，KBL、ABI和PRS都是光线折射的路径。其中有KM / NL＝AH / GI＝PQ/TS。这就是说，当介质给定时，入射角的正弦与折射角的正弦之比为一常量。[43]



     图4

     通过这个例子，我们看到了笛卡尔是如何按照其“普遍数学”的原则，在心灵之光的引导下，透过现象而抓住那个“绝对项”(在此就是广延和运动)，从而将复杂的自然现象化归为空间关系，以便发现它们的比例关系，即它们的度量和秩序的。按照这种思路，我们在上一节提到的笛卡尔的自然界“几何学化”的理想至少在原则上将是一个合理的目标。当到达那种境界时，一切的自然现象都将还原为广延的特性或空间的关系。并且，愈是接近这个目标，数学与物理学就愈加趋近，愈加贯通。显然，这种趋近与贯通的基础和根据已由笛卡尔的广延本体论告诉我们。诚如笛卡尔所说“仔细推敲起来，就可以明白，凡属涉及比例或对比关系的问题，是按照怎样的条理性而掩盖着的，我们应该依据怎样的秩序去把它们找出来：只有这里面才包含着整个纯粹数学性科学的总和。”[44] 这显然就是笛卡尔“我的全部物理学不是别的正是几何学”所要表达的意思。[45]

     未完，继续看今日下一篇文章

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