笛卡尔“普遍数学”的方法论意义初探(续)
2015/9/9 哲学园

     五、“普遍数学”:科学发现的逻辑

     在上一节中,我们已经看到笛卡尔是如何通过比例关系来解答帕普斯问题,得到它所描述曲线的方程,以及如何在光的反射和折射研究中发现反射和折射定律――代表光线的线段间的比例关系的。比例关系在数学和物理学中的这种普遍使用及其有效性,其根据无疑都在于“普遍数学”及其核心“广延本体论”。从这两个实际例子中,我们还看到,“普遍数学”和它的构成性原则不仅表现在这些科学发现的结果(曲线方程和反射折射定律),即对于数学或物理学对象的描述上,而且也体现在做出这些发现的逻辑过程,即对于描述本身的发现过程之中。换言之,“普遍数学”不但表明了物质世界的广延性本质,还提供了一种科学发现的普遍方法。例如,我们不仅可以看到了笛卡尔在解答帕普斯问题时反复利用比例关系方法,还可以看到在研究光的反射和折射时,其中关键的环节就是将光的运动与小球的运动加以类比。这种类比关系的运用不仅与比例关系的运用一样是以物理对象的广延本质以及物理对象和数学对象的本质之统一于广延性为根据的,而且它在形式上也与比例关系相似:

     a/b = c/d(一般比例关系)

     光的运动/折射和反射定律=球的运动/碰撞定律

     正因为如此,在“第十七原则”中,笛卡尔从方法论的角度说明了在科学研究中如何根据比例关系得到一般命题间的关系:

     如果我们在直观各命题依据怎样的从不间断的秩序互相依存时,能够推论出最后命题是怎样取决于最初命题的,那么我们就是直接通观了困难之所在;但是,相反,如果我们已经认识最初命题和最后命题互相以怎样的方式密切联系,想从中演绎出联贯它们的各中项是什么,那么我们依据的是某种完全间接的相反秩序。

     这里指的分别是我们在上一节第一部分已经提到过的反映了比例关系的直接的序列关系和间接序列关系。而

     因为我们在这里研究的只是隐蔽的问题,即必须依据某种被弄得模糊不清的秩序,从已知首尾两项去认识某些中间项,所以这里的全部技巧只在于:假定未知事物为已知事物,使我们能够准备一条容易而直接的道路,即使困难是极其错综复杂的。这一点是永远成立的,既然我们从这一部分一开始就已假定:我们承认任一问题中仍然未知者对于已知者有某种依赖关系,以至于仍然未知者为已知所决定;因此,如果当我们发现这种决定关系的时候,我们思考首先呈现的那些事物,只要我们把其中的未知当作已知,从中逐级用若干次真正的通观,演绎出即使已知的其他,仿佛它们是未知者……[46]

     因此,间接的序列关系被予以格外的强调。由此导出的探究事物秩序的一般方法可以概括为:假定未知者(H)为已知,使之能够演绎出“即使已知的其他”(P)。这样,我们也就找到了这个未知者H。不难发现,这个方法正是后来被皮尔士再次发现的,并借用了亚里士多德的概念将之称为“溯因推理”的方法。皮尔士与笛卡尔一样,将它视为确定事物秩序,即科学发现的一般方法。如果我们用皮尔士的方式来表达这种方法,事情将更加清楚。假设某一“中间项”为已知,这个步骤在皮尔士那里对应着提出假说。因为有此假说所设定的情况,所以从一个比较普遍的规则(首项)就可以得到一个特殊的结果(尾项――“仿佛它们是未知者”)。因为这里规则与特殊结果,即“首尾两项”或“最初命题和最后命题”是已知的,则假设的中间项是真的。也就是说,我们确定了这个中间项,得到了一个科学的定律。这个过程的逻辑形式可以下式表示:

     P(特殊的现象)

     [如果H(假设)则P](普遍规则)

     则H

     笛卡尔由比例关系或类比关系出发而获得一种溯因推理模式的表述,这并不奇怪。在笛卡尔对光的研究的例子中,类比关系为:光的运动/折射和反射=球的运动/碰撞定律。这个类比之所以成立,根据在于光与球在运动规律上是同类的(这正是“普遍数学”的“广延本体论”所主张的),即“凡按碰撞定律行事者,有此运动”。结果有:

     光运动现象(P)

     若光按碰撞定律行事(H),则有此光运动现象(P)

     所以,光按碰撞定律行事(H)[47]

     在“第十九原则”中,笛卡尔指出了从这种一般方法导出可以使分析定量化的原则:“应该运用这种推理方法,寻求在同一数中表现为两种不同方式的量,使我们假定未知项为已知,以便直接通观困难:这样的话,我们就可以在两个相等项之间进行同等数量的比较了。”[48] 物理方程就是这样建立起来的。我们知道了结果,同时也知道一般的规则,则我们假设某种因素或其量为已知,即用一个x来代表它(虽然它现在被叫做“未知数”,但它是被当作已知来使用的),这样,我们就可以列出方程式(即“两个相等项之间……同等数量”)了。例如,我们可以在现在任何一种物理教科书中看到类似的问题:将一重物(质量为1公斤)以质量可忽略不计的细绳提起,若提升的加速度为10公分/秒2,则绳子上的拉力是多少?求解时,可以先设拉力为x(中项),则根据牛顿第二定律F = ma(首项)和m = 1kg,a = 0.1m/s2(尾项)可知:x = ma = 1·0.1 = 0.1(牛顿)。

     同样,我们也可以再按照皮尔士的“溯因推理”的方式来表述这种过程:P为m和a(尾项),H→P即是牛顿第二定律,在此题中即具体为x = ma(首项),所以H(中项),在此题中即x。由此亦可见,溯因推理绝不是什么新奇之事,它是人类精神对于未知之探求的十分自然的方式或模式。

     笛卡尔常常(例如在本节的引文中)将这样的推理过程称为“演绎”,这种术语的时代差异给后来的诠释者造成了理解上的困难。笛卡尔这里所说的演绎与我们通常所理解的演绎――如亚里士多德的三段论式推理――是根本不同的。笛卡尔本人对此已有清楚地了解。他认为对于三段论者来说,推论中的大、小项(词)和中项(词)都是已知的。因此它并不能给出新东西――它本来就没有未知。而他的方法不同,它是发现的方法,发现的逻辑。所以首先要明确未知项,进而未知项所处于其中的某种关系,最后是已知项。[49] 之所以如此,原因在于,笛卡尔这里所分析的“项”,根本不是事物间分类关系中的项,从而其关系也就不可能为演绎逻辑(三段论)的关系所涵盖。笛卡尔做为对象来研究的事物间的秩序,或者说项的序列,乃是一种相互有产出关系,即以比例关系相联系的项的系列。[50] 这种关系,用康德的术语来说,就是“综合的”。笛卡尔称之为“演绎”的“普遍数学”方法之所以是“发现的逻辑”而不是重言式,原因即在于此。

     我们知道,在康德的认识论中,上述综合命题关系在从数学到物理学进展中存在着层次上的区别。这种不对称性在笛卡尔的意识中似乎没有位置。因此当他从数学性的比例关系直接引伸到一般命题间的类比关系时,并没有感到有任何跳跃或困难。在前面的注释中,我们曾指出“作为科学发现方法的类比关系中联系各项的通常不是一般比例关系中的数量或空间大小,而是因果关系”。如何说明这种从“量”到“质”的过渡?如何从康德的系统来看笛卡尔的“普遍数学”?由于篇幅问题,我们在这里不可能展开论述。我们只想进一步指出,虽然笛卡尔在其关于“普遍数学”的论述中没有直接涉及数学性的比例关系与一般命题间的类比关系的不对称以及由前者向后者过渡的可能性本身,但在笛卡尔对于“普遍数学”的实践中已经暗示了这种不对称的存在:与数学性的比例关系不同,科学发现的类比或溯因模式涉及经验的不确定性,并因此只能在可错的过程和绝对的广延本体之间的张力中自我实践。

     认真考察一下上一节中笛卡尔对于光反射和折射的研究,不难发现,将光的运动与小球的运动加以类比为一端,光的反射折射的现象为另一端,在这两端之间,笛卡尔的分析以今天的眼光来看,存在着一些明显的含混甚至错误。例如,在类比方面,为了使光的运动能够类比于一般的机械运动,笛卡尔将光理解为一种运动的传递,并且因此认为这种传递是“瞬间的”,这与他在接下来的分析中随意地设定光运动的速度或倾向由于介质的阻碍而改变多少有些矛盾,至少这表现了一种含糊[51];又如,在类比后的分析中,对运动和运动方向的规定性的区分在今天看来是不正确的,再加上没有清晰的关于“运动”、“速度”和“力”的概念,所以在分析中起关键作用的那个“圆周ADF”是没有道理的。尽管如此,作为科学历史上的事件,同样重要的是,这些后来被认为是含糊甚至错误的分析却导致了正确的结果。其实,对于这种类比或溯因过程,也就是科学发现过程,或者更一般地说,对于以“普遍数学”为原则所进行科学探索,其具体内容具有可错性,这一点笛卡尔已经有所意识。正是针对自己关于光的折射研究,他指出这种研究不可能像我们在纯粹几何学中所做的证明那样确定无疑,因为这里涉及到物理过程或物理现象。但它们正如我们在阿基米德、托勒密等人的工作中也看到的那样,只要是没有逻辑上的错误(paralogisme,谬误推理),只要是达到了对于经验现象的解释,就是一种证明――虽然其中的一些假定可能并不一定最终为真。[52] 这里显然包含一种“拯救现象论”的观念,但是,它在笛卡尔那里却不会导致彻底的相对主义。因为笛卡尔的科学发现始终在他的“普遍数学”之广延本体论信念的指导之下。而这一信念加上“拯救现象”的思想,恰恰构成了科学发现的溯因模式的两个基本原理,即因果解释和这种解释的系统性。在《什么是康德的“第二类比”?》[53] 一文中,我们曾指出作为科学发现的模式的溯因推理在科学实践中不是一个孤立的推理环节,相反,科学实践从而自然的图景是由许多个相关联的溯因推理,按照某种范导性的理念编织而成的。“拯救现象”是任何一个溯因推理环节的具体目的,但要能够使这些(原则上无穷多个)环节关联为一个系统,则需要那个理念。对于笛卡尔来说,它不是别的,正是广延性以及对它的信念。

     【注释】

     [1] Regulae ad Directionem Ingenii是一部用拉丁文写成手稿,时间大约在1628年前后。笛卡尔原计划该书包括3个部分,每一部分由12条原则及其说明组成,但实际上他只写了21条原则,并且其中最后3条只有原则而无说明。笛卡尔生前一直没有发表这部手稿。直到他去世50年之后(1701年),这部手稿才在荷兰阿姆斯特丹出版。管震湖先生根据Jean-Luc Marion的法译本(Règles utiles et claires pour la direction de l’esprit en la recherche de la vérité, Martinus Nijhoff, la Haye, 1977)将其译成中文:《探求真理的指导原则》(简称《原则》),商务印书馆,1991年。以下凡引此书,都只分别标出法译本和中译本页码。

     [2] F. de Buzon, D. Kambouchner, Le Vocabulaire de Descartes, Paris, Ellipses, 2002, p. 42.持前一种理解的人中著名的有L. Brunschwig,持后一理解的人数更多一些,其最近的代表有M. Fichant 的 ? La ‘Fable du Monde’ et la signification métaphysique de la scienc cartésienne?, Science et Métaphysique dans Descartes et Leibniz, PUF, Paris, 1998, p. 60-84。

     [3] 参见Geneviève Rodis-Lewis, Descartes—textes et débats, Libraire générale fran?aise, Paris, 1984, p. 57.

     [4] J. Laporte, Le Rationalisme de Descartesm, Paris, PUF, 1945, p. 11-13.

     [5] G. Olivo, ? La sagesse des principes : la mathesis universalis dans les principiae philosophiae de Descartes ?,Lire Descartes Aujourd’hui, ed. O. Depré et D. Lories, Louvain-Paris, Peeters, 1997, p. 84.

     [6] R. Lefevre, ? Méthode cartésienne et modèle mathématique ?, Modèles et Interprétation, Villeneuve-d’Ascq, PUL, 1978, p. 105-106.

     [7] p. 15,第18页,译文有所改动(以后凡有此情况不另注明)。

     [8] subjectum(主体),这是笛卡尔的用法,在很多场合应理解为(认识)“对象”(读者很容易判断这种场合,所以下面不再专门指出)。

     [9] p. 12,第15-16页。

     [10] p. 13,第16页。

     [11] 笛卡尔甚至认为在古代学者那里,事实上已经存在这样一种科学,只是因为密传的传统而中断了(参见本文第三节)。由于这个术语蕴含着与今不同的对于知识的理解,所以在将它译成今天的语言时就不免见仁见智。例如《原则》的几种法译本的译者大多将mathesis universalis译作mathématique universelle(普遍数学),如J. Brunschwig和G. Le Roy等,但也有将其译作science universelle(普遍科学)的,如J-L. Marion。我们下面的论述将表明笛卡尔的mathesis universalis表现了一种明显的“毕泰戈拉-巴门尼德-柏拉图”传统,借用E. A. Burtt的说法,它表达了一种“几何原子论”。因此,我们倾向于将它译为“普遍数学”。

     [12] 在此意义上笛卡尔是一个验前论者(见p. 11,第14页),在这些地方笛卡尔认为“普遍数学”本质上是知性生而知之的能力。

     [13] 在伽里略的《两大体系》和《对话》中就有这种理解的代表。

     [14] p. 63-64,第81-82页。引文的最后一句话还表明,即使“抽象”这个概念在笛卡尔那里,也与我们今天通常的理解有所不同,因为他认可一种不脱离事物直观(所谓想象力)的抽象。

     [15] p. 65,第83页。笛卡尔之所以这样说,是因为他以为事实上物体的存在方式就是广延,而广延也只是物体的存在方式,除此而外,广延就什么也不了。这种对于广延与物体存在的理解,是笛卡尔的物质学说的根本点。下文中将引用的《哲学原理》中关于广延性之为物体的本质的论述所表明的也正是这一点。可以说,全部“普遍数学”的形而上学基础,正在于这个根本点上。

     [16] 笛卡尔认为,人的认识的错误只会发生在判断中,单纯的直观是无所谓错误的。可参见《原则》,第6页、第60页,以及《哲学原理》的第一部分,第43、44条。(Les Principes de la Philosophie, Oeuvres de Descartes, Charles Adam & Paul Tannery, Vrin, Paris, 1996, IX,p. 43。即《笛卡尔全集》,第9卷,第43页。以下凡引《笛卡尔全集》只以注明卷数并页码。)

     [17] p. 66,第84页。

     [18] 同上。

     [19] 亚里士多德说:“毕达哥拉斯学派……认为数不脱离可感觉事物,而可感觉事物则为数所组成。他们用数构成了全宇宙,他们所应用的数并非抽象单位;他们假定数有空间量度。”(《形而上学》,1080b15-21,吴寿彭译,商务,1983年,第271页)

     [20] p. 13-14,第16-17页。

     [21] M. Fichant在对笛卡尔后期著作的分析中也见到了这一点:“……在数学和物理学之间并不存在本体论地位上的区别:两者产生并建立在同一个地平上。” (? La ‘Fable du Monde’ et la signification métaphysique de la scienc cartésienne?, Science et Métaphysique dans Descartes et Leibniz, PUF, Paris, 1998, p.74)。

     [22] 对于笛卡尔的研究者来说,这当然引出时间在笛卡尔体系中的地位问题。对此,我们将另文谈及。

     [23] IX, p. 68-69.

     [24] IX, p. 75.

     [25] p. 41-42,第55页。

     [26] XI, p. 24-25.

     [27] XI, p. 33.

     [28] XI, p. 35-36.

     [29] 为建立这种区分的观念,除了需要将对象还原为空间关系和运动外,还需要以空间和运动来说明感知活动本身,这后一方面的基本思想在《原则》的“第十二原则”中就已经给出,并在后来发展出《屈光学》中的一部分、《论人》和《灵魂的感知》等。

     [30] II, p. 268.

     [31] 笛卡尔的诠释者们对于笛卡尔的“普遍数学”与他的《几何学》之间的关系感到疑惑,L. Brunschwig甚至认为后者表现了笛卡尔已经放弃“普遍数学”的思想而走向纯粹抽象数学的研究。这显然是一种误解。我们在前面曾引用过笛卡尔1638年7月27日给麦森纳的信,其中所言完全与Brunschwig的判断相反。这种不应出现的错误判断的出现,恰恰说明了透彻理解“普遍数学”与《几何学》的关系的困难性,而这当然又是“普遍数学”本身之难于理解所致。

     [32] “自然最初撒播于人类心灵的真理种子,由于我们日常读到或听人说到的谬误太多而在我们内心中湮没的真理种子,在那质朴纯洁的古代,其中的某些却仍然保持着原来的力量,以至于古人受到心灵光芒的启示,虽然不知其所以然,却……也认识了哲学中和mathesis中的真正思想”。(p.14,第17页)

     [33] p. 71,第92页。

     [34] p. 79-80,第102-104页。

     [35] 《几何》袁向东译,武汉出版社,1992年,第3页。笛卡尔这里关于比例关系与乘、除和开根的关系可由下面的式子清楚地看到:

     a / 1 = x / b, x = a ·b (乘法),

     1 / a = x / b , x = b / a (除法),

     1 / x = x / a, x =√a (开根),

     其中a、b、c为给定的线段,1是单位线段,x则是要求的线段。

     (参见J. Vuillemin, Mathématiques et Métaphiysique Chez Descartes, PUF, Paris, 1960, p. 113)

     [36] 这表现了一切对于某种伟大思想结果的“成熟的,更加一惯的表达”所伴随着的遗憾(爱因斯坦)。

     [37] 《几何》,第22页。

     [38] p. 67,第85页。

     [39] 事实上笛卡尔在《论世界》和《屈光学》中已将颜色理解为光的运动,并将它与机械运动相类比:“你们也不会奇怪,通过其(光的――引者注)方式我们能够看见所有种类的颜色;甚至你们可能相信这些颜色在被称为有色的物体中并非什么别的,而只是这些物体接收光并将它们送至我们眼中的各种不同方式罢了――只要你们想一想一个盲人通过他的棍棒的中介所注意到的树木、石头、水和诸如此类东西的区别与我们注意到的红、黄、绿和所有其它颜色的区别完全相似,并且所有那些物体中的区别不过是运动的或者对那棍棒的运动的阻滞的不同方式。”(VI, p. 84-85)另外,这种对于“维”的理解,正与彭加勒的“维”的定义相合,即“维”表现了“连续性的间断”(参见拙文《康德和彭加勒的空间意识学说之比较》,《自然辩证法通讯》,1998年第2期)。

     [40] 当然在有限性的认识主体――人――的宇宙中,这种“无维”中永远不可能实现的。

     [41] VI, p. 84.

     [42] VI, p. 89.

     [43] 以上均出自笛卡尔的《屈光学》,见VI, p. 93-104。

     [44] p. 20,第26页。

     [45] 事实上,特别是在相对论以后,今天的物理学正在实现笛卡尔“普遍数学”的这一纲领,物理学正在“几何学化”。(参见G.Lochak,La géométrisation de la physique, flammarion, 1994 )关于笛卡尔的纲领的这一历史命运,我们将另文论述。

     [46] p. 76-77,第98-99页

     [47] 关于类比与溯因推理之间关系的一般性分析,见拙作《判断力的功效》,载《德国哲学论丛(1999)》,人民大学出版社,2000年5月。又,一般比例关系也可以作类似的理解,即如a/b = c/d意味着a与b、c与d的比值是同样的,它们都属于一个一般的比例,即x/y(这里x和y可以是任意正整数),这正是等比级数的情况。这再次表明比例关系与类比具有构成上的相似性。所不同者,作为科学发现方法的类比关系中联系各项的通常不是一般比例关系中的数量或空间大小,而是因果关系。

     [48] p. 81,第105页。

     [49] “第十三原则”,p. 54,第71页。

     [50] “一切事物都可以排列为某种系列,依据的当然不是它们与某一存在物类属有何关系,即,不是像往昔哲学家那样依据各类事物的范畴加以划分,而是依据各事物是怎样从他事物中获知的;这样,每逢出现困难,我们就可以立刻发现:是否宜于首先通观某些其他事物、它们是哪些以及应该依据怎样的秩序。”(p. 17-18,第23页)

     [51] 参见R. S.韦斯特福尔:《近代科学的建构――机械论与力学》,彭万华译,复旦大学出版社,2000年,第56页。

     [52] 见1638年5月27日给麦森纳的信。II, p. 142。

     [53] 载《德国哲学论丛(2000)》,人民大学出版社,2001年6月。

    http://www.duyihua.cn
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