奔向广义相对论（续）
2015/12/2 哲学园
节选自《爱因斯坦传》
艾萨克森 著，张卜天 译
爱因斯坦在忙于修改方程的同时，还与他昔日的朋友兼竞争者希尔伯特进行了一场尴尬的角力。此时希尔伯特正在寻找广义相对论方程，与他竞争。有人告诉爱因斯坦，这位哥廷根数学家已经发现了《纲要》方程的错误。由于担心被抢先，爱因斯坦给希尔伯特写了一封信，说他四周之前就已经发现了这些错误，并寄去了11月4日讲演的副本。“我很想知道，您是否喜欢这种新的解决办法，”爱因斯坦带着防御的口气问道。[72]
希尔伯特虽然在数学方面比爱因斯坦更好，但却不是同样好的物理学家。他并没有像爱因斯坦那样最终确保任何新理论在静态弱场情况下都能符合牛顿的旧理论，或者服从因果律。希尔伯特没有采用数学-物理双重方案，而主要采用了力图找到协变方程的数学方案。“希尔伯特喜欢开玩笑说，物理学太复杂了，不能只留给物理学家去研究，”奥弗比说。[73]
接下来的那个星期四，即11月11日，爱因斯坦提交了第二篇论文。他在其中使用了里奇张量，指定了新的坐标条件，使得方程具有广义协变性。事实表明，问题并没有得到根本解决。爱因斯坦距离最终答案虽然只有一步之遥，却始终迈不过去。[74]
他再次把论文寄给了希尔伯特。“倘若我目前的修改(并没有改变方程)是合理的，那么在物质构成方面，引力必定起着基础性的作用，”爱因斯坦说，“好奇心使我的工作更加困难了!”[75]
希尔伯特第二天的回信必定使爱因斯坦坐立不安。他说他正准备就“您提出的大问题给出一种公理化的解决方案”。希尔伯特打算暂不讨论，直到对这项物理研究做出实质性的推进。“但是既然您如此有兴趣，我愿意在下星期二(本月16日)把我的理论详详细细阐述一遍。”
他邀请爱因斯坦到哥廷根，亲自听他给出答案。会面将在下午6点开始，希尔伯特特意告知了从柏林到哥廷根的两列火车的到达时间。“如果您能和我们在一起，我的妻子和我将会非常高兴。”
信写完之后，希尔伯特又加上了一段挑逗式的附言。“根据我对你这篇新论文的理解，你所给出的解答与我的完全不同。”
11月15日，星期一，爱因斯坦一连写了四封信，也许我们可以从中感到他为何会胃痛。在给儿子汉斯·阿尔伯特的信中他说，他打算在圣诞节和新年前后去瑞士看他。“也许我们两个人单独到某个地方更好些，”比如一个隐蔽的小酒馆，他向儿子建议，“你觉得如何？”
他还给妻子写了一封安抚的信，感谢她不打算“破坏我与孩子们的关系。”他又给他们共同的朋友仓格尔写信说：“我已经修改了引力理论，意识到我以前的证明有一处脱漏……我很高兴在年底去瑞士看看我可爱的儿子。”[76]
最后，他给希尔伯特写了回信，谢绝了第二天访问哥廷根的邀请。信件没有掩饰他的焦虑：“我对您的分析非常感兴趣……您在明信片上的暗示，让人满怀期待。但眼下我没法去哥廷根……我疲惫极了，而且还受到胃痛的折磨……如有可能，请寄给我一本您论文的校样，以便缓解我的不耐。”[77]
幸运的是，那一周爱因斯坦的焦虑因为一个惊喜的发现而有所缓解。虽然他知道他的方程不是最终形式，但他还是决定看看由这种新方案是否能够产生正确的水星轨道运动结果。由于他和贝索此前已经做过计算(得到了一个令人失望的结果)，所以用修正后的理论重新计算并未用去他太多时间。
事实上，他在11月的第三次讲演中宣布的解答是正确的：每世纪43 弧秒。[78]“我相信，这一发现是迄今为止爱因斯坦科学生活乃至整个一生中最强烈的情感体验，”派斯后来说。他激动万分，仿佛“心都要跳出来了”。“我简直高兴得要死，”他对埃伦菲斯特说。他还对另一位物理学家欢呼说：“我对水星近日点运动的结论是极其满意的。在这方面，天文学学究式的精确性对我们的帮助多么大啊，以前我还经常偷偷取笑这种精确性呢!”[79]
在同一场讲演中，他还报告了他的另一次计算。当他八年前第一次开始表述广义相对论时，他曾说，一个结论是引力会使光线弯曲。他曾经计算出，太阳附近的引力场将使光线大约偏折0.83弧秒，这与把光视作粒子的牛顿理论的预言相符。但是现在，利用修正后的新理论，考虑到时空弯曲所产生的效应，爱因斯坦计算出的光线弯曲是它的两倍。因此，他现在预言太阳引力将使光线大约偏折1.7弧秒。这一预言必须等到三年多之后再次发生合适的日食才能被检验。
11月18日一早，爱因斯坦收到了希尔伯特的新论文，即那篇他受邀到哥廷根听取的论文。爱因斯坦惊奇(且有些沮丧)地看到，它竟然与他本人的工作非常相似。他给希尔伯特回了一封冷冷的信，言辞简洁，显然旨在肯定他本人工作的优先性：
在我看来，您所确定的系统与我前几个星期所发现并已提交给科学院的完全一致。其中困难并不在于找到广义协变的方程，因为借助于黎曼张量，这是很容易做到的……三年前，我就已经和我的朋友格罗斯曼一起思考了唯一可能的广义协变方程，即现在看来是正确的那些方程。我们之所以不太情愿地放弃了这个思路，是因为在我看来，物理讨论的结果与牛顿定律不一致。我今天提交给科学院一篇论文，其中我从广义相对论出发，不借助任何假说，便定量地导出了水星的近日点运动。迄今为止，任何引力理论都未曾达到这一点。[80]
第二天，希尔伯特友好地回了信，慷慨大度地称自己并没有优先权。“衷心祝贺您拿下了近日点运动，”他写道，“如果我能像您那样算得那么快，那么在我的公式中，电子就不得不束手就擒，氢原子也会给我写一张歉条，说明为什么它不发出辐射。”[81]
但是到了第二天，即11月20日，希尔伯特寄给哥廷根的一家科学杂志一篇论文，宣布了他本人给出的广义相对论方程。他为这篇论文选的标题并不谦虚，称之为《物理学的基础》。
当爱因斯坦正忙于准备他在普鲁士科学院达到顶峰的第四次讲演时，我们不知道他把希尔伯特寄给他的论文读了多少遍，也不知道其中哪些内容影响了他的思考。无论如何，他一周前就水星和光的偏折所做的计算使他认识到，他能够避免曾经强加给引力场方程的限制和坐标条件。于是在1915年11月25日，他为最后一次讲演“引力的场方程”及时提出了一套协变方程，使其广义相对论达到了巅峰。
在外行看来，这个结果并不像E=mc2那样生动。但是利用简洁的张量符号，各种纷繁复杂的东西可以被并入下标，最终核心的爱因斯坦场方程非常紧凑，令人赞叹。就像我们经常看到的那样，它印在自豪的物理系学生穿的T恤衫上。作为其中一个变种，[82]它可以写成：
Rμν- ?gμνR = -8πGTμν
方程左边的起始项便是里奇张量Rμν，gμν是非常重要的度规张量，R则是里奇张量的迹，即所谓的里奇标量。总之，方程左边——现在被称为爱因斯坦张量，可以简单地写成Gμν——将有关时空几何如何被有质量物体或其他能量源弯曲的所有信息都集合在了一起。
方程右边描述的是物质在引力场中的运动。两边共同表明了物体如何使时空弯曲，以及这种弯曲又如何反过来影响物体的运动。正如物理学家惠勒所说：“物质告诉时空如何弯曲，弯曲的空间告诉物质如何运动。”[83]
一场宇宙之舞就这样上演了，正如物理学家格林所说：
空间与时间成了不断演化的宇宙中的表演者。它们充满了生气：这里的物质使那里的空间发生弯曲，那里的空间又使这里的物质运动起来，后者又使那里的空间进一步地弯曲……广义相对论为空间、时间、物质和能量的宇宙之舞提供了舞蹈设计。[84]
终于，爱因斯坦得到了真正协变的方程，因此这种理论(至少令他满意地)包含了所有运动形式，无论是惯性运动、加速运动、旋转运动还是任意运动。在当年3月的《物理学纪事》中，他在给出理论的正式表述时宣称：“自然的一般定律是由那些对一切坐标系都有效的方程来表示的，也就是说，它们对于无论哪种变换都是协变的。”[85]
爱因斯坦对自己的成功激动不已，同时也担心，已于五天前在哥廷根提交了论文的希尔伯特，会被认为对这项理论有所贡献。“只有一位同行真正理解它，”他写信给朋友仓格尔说，“他正试图以巧妙的方式‘侵占’(亚伯拉罕的用语)它。”“侵占”(nostrifizieren)一词曾经被哥廷根的数学物理学家马克斯?亚伯拉罕使用过，指的是一种承认学位的活动，即德国大学将其他大学授予的学位变成他们自己的学位。“在我的人生经历中，几乎从来没有如此让我体会到人之可悲。”在几天以后给贝索的信中，他又说：“在这件事情上，我的同行们表现得很可恶。如果我讲给你听，你肯定会乐坏了。”[86]
那么，最终的数学方程应当主要归功于谁呢？关于爱因斯坦和希尔伯特的优先权问题，史学家们已经在小范围里进行了激烈争论，其驱动力有时似乎超出了纯科学的范围。在11月16日的谈话，以及一篇日期为11月20日的论文中，希尔伯特提出了他的方程，这些都早于爱因斯坦11月25日提出最终的方程。但是1997年，一些爱因斯坦学者发现了希尔伯特文章的一些校样，它们显示希尔伯特做了一些改动，之后于12月16日寄回了出版社。虽然在最初的版本中，希尔伯特的方程与爱因斯坦在11月25日讲演的最终版本相差不多，但却有一个关键的区别。它们不是真正广义协变的，而且希尔伯特没有把里奇张量收缩，并把结果得到的“迹”即里奇标量放入方程。而爱因斯坦在11月25日的讲演中却这样做了。显然，希尔伯特在文章的修定版中做了改正，以符合爱因斯坦的版本。在谈到引力势时，他非常有雅量地加上了“首先由爱因斯坦引入”这一短语。
希尔伯特的支持者(以及爱因斯坦的恶意批评者)以各种论证作为回应，比如有一部分校样丢失了，“迹”这一项或者无关紧要，或者是显然的等等。
平心而论，两人在1915年11月都导出了(在某种程度上是独立地，但也都知道对方在做什么)正式的广义相对论数学方程。根据希尔伯特对自己校样的修改来看，似乎是爱因斯坦首先发表了这些方程的最终版本。而且甚至连希尔伯特本人最后都把荣誉和优先权归于爱因斯坦。
无论如何，正是爱因斯坦的理论成了正统。在那年夏天，他在哥廷根见到希尔伯特时就向他解释过这种理论。甚至连主张把正确的场方程归于希尔伯特的物理学家索恩都说，方程背后的理论应当归功于爱因斯坦。“希尔伯特几乎与爱因斯坦同时独立地发现了最后几个数学步骤，但这些步骤之前的几乎任何东西都要归功于爱因斯坦，”索恩说，“没有爱因斯坦，广义相对论的引力定律也许要再上数十年才能被发现。”[87]
心胸宽广的希尔伯特也是这样认为的。他在论文最终的发表版本中明确指出：“在我看来，结果得出的引力微分方程与爱因斯坦建立的宏伟的广义相对论相一致。”此后他总是承认(从而使那些用他来贬低爱因斯坦的人失望)，爱因斯坦是相对论唯一的创造者。[88]“关于四维几何，哥廷根大街上的每一个孩子都比爱因斯坦知道更多，”据说他曾这样说，“然而尽管如此，做出这项工作的是爱因斯坦，而不是数学家们。”[89]
事实上，爱因斯坦与希尔伯特不久就重归于好。在他们就场方程发生冲撞几周以后，希尔伯特11月写信说，在他的支持下，爱因斯坦当选为哥廷根科学院院士。在表达谢意之后，爱因斯坦说，“我感到不得不对你说一些别的事情。”他解释说：
你我之间曾经出现过某种敌意，其原因我并不想加以分析。我同与此相联的痛苦情绪进行了一番搏斗，并且取得了完全的成功。我又一次完全以亲切友好之情想起了您，希望您也能这样对我。如果两个多多少少从这个破败的世界中解脱出来的真正伙伴没有彼此给对方带来快乐，那真是一种羞耻。[90]
他们继续定期通信交流思想，并且计划为天文学家弗伦德里希安排工作。到了2月，爱因斯坦甚至再次访问了哥廷根，住在希尔伯特家。
身为作者，爱因斯坦的自豪之情完全可以理解。他一拿到四次讲演的副本，就把它们寄给了朋友们。“一定要好好看看，”他对一位朋友说，“这些是我一生中最有价值的发现。”他又对另一位朋友说，“这一理论拥有无与伦比的美。”[91]
36岁的爱因斯坦已经对我们的宇宙概念做出了历史上最具想象力和戏剧性的修正。广义相对论不仅是对某些实验数据的解释，或者是对一套更精确定律的发现，而是一种看待实在的全新方式。
在牛顿留给爱因斯坦的宇宙中，时间有一种绝对的存在性，它独立于物体和观察者而均匀流逝，空间也有类似的绝对存在性。引力被认为是物体相当神秘地穿过空虚的空间彼此施加的一种力。在这一框架中，物体服从力学定律。从行星轨道、气体扩散、分子抖动到声波(虽然不是光波)传播，它们在解释万物方面被证明是精人地准确，堪称完美。
通过狭义相对论，爱因斯坦表明，空间和时间并不具有绝对的存在性，而是构成了一种时空结构。而通过广义相对论，这种时空结构不仅成了物体和事件的一种容器，而且它也有自己的动力学，既被其中物体的运动所确定，也可以反过来确定它——就像当弹子球和保龄球滚过时，蹦床的结构会发生弯曲一样，反过来，这种蹦床结构的弯曲又会确定滚过的球的路径，使弹子球朝着保龄球运动。
这种弯曲的时空结构解释了引力，它与加速的等效，以及关于一切形式的运动的广义相对论。[92]在量子力学的先驱——诺贝尔奖获得者保罗?狄拉克看来，它“也许是迄今为止最伟大的科学发现”。20世纪物理学的另一位巨人玻恩则称它为“人对自然思考的最伟大成就，哲学洞察、物理直觉和数学技巧最令人惊叹的结合。”[93]
整个过程使爱因斯坦精疲力竭，但也使他兴奋异常。虽然他的婚姻已经破裂，战争正在蹂躏着欧洲，但他仍然感到幸福。“我最大胆的梦想已成为现实，”他高兴地对贝索说，“广义协变性。水星的近日点运动极为精确。”他说自己“心满意足，但累得要死。”[94]
[1] Renn and Sauer 2006, 117.
*参见第七章。就这里的讨论而言，我们指的是一个匀加速直线运动的参照系和一个静态的均匀引力场。
[2]这种对等效原理的描述遵循着爱因斯坦在1907年的年鉴文章和1916年的广义相对论论文中的表述。后来的其他描述稍微有所修改。亦参见Einstein,“Fundamental Ideas and Methods of Relativity Theory,” 1920, unpublished draftof a paper for Nature magazine, CPAE7:31.
本章的某些内容源自《爱因斯坦全集》编者之一的一篇论文：Jeroen van Dongen, “Einstein’s Unification: GeneralRelativity and the Quest for Mathematical Naturalness,” 2002.他不但给了我这篇文章的一个副本，也对本章提出了建议和意见。本章也借鉴了其他学者研究爱因斯坦广义相对论著作的研究成果。我感谢他和所有帮助我撰写本章的人，包括绍尔、雷恩、诺顿和扬森。本章参考了他们以及斯塔契尔的著作，见参考文献。
[3] Einstein, “The Speed of Light and theStatics of the Gravitational Field,” Annalender Physik (Feb. 1912), CPAE 4:3; Einstein 1922c; Janssen2004, 9. 在1907年和1911年的论文中，爱因斯坦称之为“等效假说”，但在这篇1912年的论文中，他把它提升至“等效原理”(Aequivalenzprinzip)的地位。
*我使用的是爱因斯坦原始计算中的数据。后来的数据使之被修正为大约0.85弧秒，1弧秒是1度的1/3600。
[4] Einstein, “On the Influence of Gravity onthe Propagation of Light,” Annalen derPhysik (June 21): 1911, CPAE 3:23.
[5] Einstein to Erwin Freundlich, Sept. 1,1911.
[6] Stachel 1989b.
[7] Record and grade transcript, CPAE 1:25;Adolf Hurwitz to Hermann Bleuler, July 27, 1900, CPAE 1:67; Einstein to MilevaMari?, Dec. 28, 1901.
[8] F?lsing, 314; Pais 1982, 212.
[9] Hartle, 13.
[10] Einstein to Arnold Sommerfeld, Oct. 29, 1912.
[11]爱因斯坦为通俗著作Relativity, 1923的捷克语译本写的前言，参见utf.mff.cuni.cz/Relativity/Einstein.htm. 爱因斯坦写道：“直到1912年我回到苏黎世之后，才想到要把理论的数学表述类比于高斯的表面理论，当时我还不知道黎曼、里奇和列维-契维塔的工作。是我的朋友格罗斯曼第一次让我注意到了它们。Einstein 1922c：“我认识到几何基础具有物理含义。当我从布拉格回到苏黎世时，我的挚友数学家格罗斯曼在那里。从他那我第一次听说了里奇和黎曼。”
[12] Sartori, 275.
*它的道理是这样的。如果你处于空间中的某一点，想知道距离临近点(无限近)有多远，那么如果你只能利用毕达哥拉斯定理和一般性的几何学知识，事情就会比较困难。计算与北边临近点的距离的方法可能不同于计算与东边或上方临近点的距离的方法。在空间中的每一点，我们都需要某种类似于小计分卡那样的东西，告诉我们该点与每一点的距离。在四维时空中，你的计分卡需要有十个数，才能使你能够处理与临近点的时空距离相关的所有问题。对于时空中的每一点，你都需要这样一个计分卡。但是一旦你有着这些计分卡，你就可以计算沿任何曲线的距离：只要利用相应的计分卡，将途径的每一个无穷小距离加起来就可以了。这些计分卡构成了度规张量，它是时空中的一个场。换句话说，它在各点都有定义，但在各点可以有不同的值。感谢诺顿教授的帮助。
[13] Amir Aczel, “Riemann’s Metric,” in Aczel1999, 91-101; Hoffmann 1983, 144-151.
[14]感谢绍尔和科皮就本节提供的帮助。
[15] Janssen 2002; Greene 2004, 72.
[16] Calaprice, 9; Flückiger,121.
[17]苏黎世笔记本收在CPAE 4:10. 网络版可参见echo.mpiwg-berlin.mpg.de/content/relativityrevolution/jnul.亦参见Janssen and Renn。
[18] Norton 2000, p. 147. 亦参见Renn and Sauer 2006, 151。感谢绍尔对本节的编辑工作。
[19] Zurich Notebook, CPAE 4:10 (Germanedition), p. 39第一次记录了所谓的爱因斯坦张量。
[20] Renn and Sauer 1997, 42-43对这一难题提出了一种解释。关于爱因斯坦为什么没有在1913年初找到正确的引力张量，以及他对坐标条件选择的理解，Renn 2005b, 11-14做了很好的分析。他基本同意Norton 1984的结论，并且提出了一些修正。
[21]诺顿、扬森和绍尔都指出，爱因斯坦在1913年的糟糕经历，即放弃数学策略采取物理策略，以及他后来采用数学策略所取得的成功，在他1933年在牛津大学斯宾塞讲演中表达的观点，以及他后半生寻找统一场论的过程中都可以反映出来。
[22] Einstein, “Outline [Entwurf] of a Generalized Theory of Relativity and of a Theoryof Gravitation” (with Marcel Grossmann), before May 28, 1913, CPAE 4:13;Janssen 2004; Janssen and Renn.
[23] Einstein to Elsa Einstein, Mar. 23, 1913.
[24] Einstein-Besso manuscript, CPAE 4:14;Janssen, 2002.
[25] Einstein, “On the Foundations of theGeneral Theory of Relativity,” Annalen der Physik (Mar. 6, 1918), CPAE 7:4.关于对牛顿水桶的生动说明以及它与相对论的关联，参见Greene 2004, 23-74. 在很大程度上正是爱因斯坦推出了马赫对一个空的宇宙的看法。参见Norton 1995c; Julian Barbour, “General Relativity asa Perfectly Machian Theory,” Carl Hoefer, “Einstein’s Formulation of Mach’sPrinciple,”以及Hubert Goenner, “Mach’s Principle and Theories of Gravity,” 均载于Barbour andPfister.
[26] Janssen 2002, 14; Janssen 2004, 17; Janssen2006. 扬森有一项重要工作分析了贝索和爱因斯坦在1913年的合作。克里斯蒂拍卖行有一份288页的目录收入了爱因斯坦-贝索手稿的复印本以及其他相关材料，还有扬森写的一篇讨论其重要性的论文，克里斯蒂拍卖行于2002年10月4日拍卖了原稿。(50页的爱因斯坦-贝索手稿以59万5千美元拍出。)关于爱因斯坦如何没有理会贝索的建议，即旋转坐标的闵可夫斯基度规不是《纲要》场方程的一个有效解(以及爱因斯坦如何一直感觉《纲要》实际上与马赫原理并不相容)的一个例子，参见Einstein toMichele Besso, ca. Mar. 10, 1914.
[27] Einstein to Ernst Mach, June 25,1913. Misner, Thorne, and Wheeler,544.
[28] Einstein to Hendrik Lorentz, Aug. 14, 1913.但两天以后，他又给洛伦兹写信说，他已经屈从于协变不可能的想法。“只有现在，在似乎擦掉了这一丑陋的污点之后，这理论才给我带来了喜悦。”Einstein to Lorentz, Aug. 16, 1913.
[29]空穴论证大致是说，广义协变的引力理论将是非决定论的。广义协变的场方程无法唯一地确定度规场。完全指定某个没有物质的小区域，即所谓的“空穴”之外的度规场，将无法确定那一区域内部的度规场。参见Stachel 1989b;Norton 2005b; Janssen 2004.
[30] Einstein toLudwig Hopf, Nov. 2, 1913. 亦参见Einstein to Paul Ehrenfest, Nov. 7, 1913：“可以证明，完全由物质张量来决定引力场的广义协变方程，是根本不能存在的。必要的限定来自于守恒定律，还有什么事情能比这更美妙呢？这一守恒定律就能从所有的曲面中决定可以特许为坐标面的面。我们可以指定这些特许的面为平面，因为我们剩下的线性代换是唯一正当的。”爱因斯坦对空穴论证的最清晰的解释参见“On theFoundations of the Generalized Theory of Relativity and the Theory ofGravitation,” Jan. 1914, CPAE 4:25.
[31] 1913年9月，当爱因斯坦出现在德国科学家年会时，持不同观点的引力理论家古斯塔夫?米对他发起了“实时”攻击，结果引发一场激辩，其言辞的尖刻远远超过了科学争论的范畴。爱因斯坦还与马克斯?亚伯拉罕进行了激烈争论，整个1912年，爱因斯坦都怀着极大的兴趣对亚伯拉罕的引力理论进行批评。Report on the Vienna conference, Sept.23, 1913, CPAE 4:17.
[32] Einstein to Heinrich Zangger, ca, Jan. 20,1914.
[33] Einstein to Heinrich Zangger, Mar. 10,1914. 雷恩指出，虽然1913到1915年期间对《纲要》的捍卫和打磨并没有能够挽救理论，但它的确帮助爱因斯坦更好地理解了他用数学策略研究的张量所面临的困难。“事实上，爱因斯坦在苏黎世笔记本中碰到的所有技术问题，都在这一时期考察与《纲要》理论相关的问题的过程中得到了解决。”Renn 2005b, 16.
[34] Einstein to Erwin Freundlich, Jan. 8, 1912,mid-Aug. 1913; Einstein to George Hale, Oct. 14, 1913; George Hale to Einstein,Nov. 8, 1913.
[35] Clark,207.
[36] Einstein to Erwin Freundlich, Dec. 7, 1913.
[37] Einstein to Erwin Freundlich, Jan. 20,1914.
[38] F?lsing, 356-357.
[39] Einstein to Paul Ehrenfest, Aug. 19, 1914.
[40]同上。
[41] Einstein to Paolo Straneo, Jan. 7, 1915.
[42]参见Levenson，特别是pp. 60-65。
[43] Elon, 277, 303-304.
[44] F?lsing, 344.
[45] Einstein to Hans Albert Einstein, Jan. 25,1915.
[46] Nathan and Norden, 4; Elon, 326.
[47] Einstein to Georg Nicolai, Feb. 20, 1915. 全文见CPAE 6:8以及Nathan and Norden, 5. Clark, 228指出其中有些内容是爱因斯坦写的。亦参见Levenson, 63; F?lsing, 346-347, Elon, 328.
[48] Nathan and Norden, 9; Overbye, 275-276; F?lsing, 349; Clark,238.
[49] Einstein to Romain Rolland, Sept. 15, 1915;CPAE 8a:118(German edition) footnote 2; Roman Rolland diary, Nathan and Norden, 16;F?lsing, 366.
[50] Einstein to Paul Hertz, before Oct. 8,1915; Paul Hertz to Einstein, Oct. 8, 1915; Einstein to Paul Hertz, Oct. 9,1915.
[51] Einstein, “My Opinion on the War,” Oct. 23– Nov. 11, 1915, CPAE 6:20.
[52] Einstein to Heinrich Zangger, after Dec.27, 1914, CPAE 8:41a, insupplement to vol. 10.
[53] Hans Albert Einstein to Einstein, twopostcards, before Apr. 4, 1915，这部分家庭通信直到2006年才公诸于世。CPAE 8:69a,8: 69b, in supplement to vol. 10.
[54] Einstein to Hans Albert Einstein, ca. Apr.4, 1915.
[55] Einstein to Heinrich Zangger, July 16,1915.
[56] Einstein to Elsa Einstein, Sept. 11, 1915;Einstein to Heinrich Zangger, Oct. 15, 1915; Einstein to Hans Albert Einstein,Nov. 4, 1915. 关于爱因斯坦抱怨自己在1916年9月访问期间很难见到儿子们，参见MilevaMari?, Apr. 1, 1916：“我希望这次你不会又让孩子们几乎完全远离我。”
[57] Einstein to Heinrich Zangger, Oct. 15,1915; Michele Besso to Einstein, ca. Oct. 30, 1915.
[58]我这里又一次引用了雷恩、绍尔、斯塔契尔、扬森和诺顿等人的著作。
[59] Horst Kant, “Albert Einstein and the Kaiser Wilhelm Institute forPhysics in Berlin,”Renn 2005d, 168-170.
[60] Wolf-Dieter Mechler, “Einstein’s Residencesin Berlin,”Renn 2005d, 268.
[61] Janssen 2004, 29.
[62] Einstein to Heinrich Zangger, July 7, andca. July 24, 1915; Einstein to Arnold Sommerfeld, July 15, 1915.
[63]具体而言，这个问题是，《纲要》场方程在非自主地变换到标准对角线形式的闵可夫斯基度规的旋转坐标时是否保持不变。
[64] Michele Besso memo to Einstein, Aug. 28,1913, Janssen 2002; Norton 2000, 149; Einstein to Erwin Freundlich, Sept. 30,1915.
[65]Einstein to Hendrik Lorentz, Oct. 12, 1915. 在以下给洛伦兹和索默菲的信中，爱因斯坦描述了他在1915年10月的突破。Einstein toHendrik Lorentz, Jan. 1, 1916：“去年秋天，我逐渐认识到，以前提出的引力场方程是不正确的，这使我经历了一段满腹懊恼的时光。过去我早就发现，得出的水星近日点运动结果太小。加之我又发现，对于新坐标系的均匀旋转变换来说，这些方程并不具有协变性。最后我发现，我去年为了确定引力场的哈密顿函数H而进行的研究工作完全是白干了，因为很容易将其修改为完全自由地选择H，而根本不必对它施加任何限制性条件。于是我确信，引入合适系统是误入歧途了，必须要求一种范围更广的协变性，最好称之为广义协变性。现在广义协变性是实现了，以后指定坐标系时什么改变也不会发生。现在这些方程本质上就是我在三年前同格罗斯曼——是他使我注意到黎曼张量——一起考虑过的方程。”Einstein toArnold Sommerfeld, Nov. 28, 1915：“最近这一个月，是我的生命中最令我激动和紧张的时期之一，当然也是成果最丰硕的时期之一。因为我认识到，我迄今为止的引力场方程统统都是站不住脚的!这么说有下列几条根据：1)我证明，一个匀速旋转系统的引力场并不满足场方程；2)水星近日点移动是每世纪18″而不是45″；3)我去年论文中思考的协变性并没有给出哈密顿函数H。如果得到恰当地推广，它容许任意的H。由此证明，相对于“合适”坐标系的协变性是个失败。”
[66] Norton 2000, 152.
[67]关于他声称的1915年10月到11月由物理方案转向数学方案，研究广义相对论的史学家们有微妙的观点分歧。诺顿主张，爱因斯坦“新的策略是倒转他1913年的决定”，回到一种数学方案，强调产生广义协变的张量分析(Norton 2000, 151)。类似地，杰伦?范?东恩说，策略的转移是清清楚楚的。“爱因斯坦立即发现了走出《纲要》困境的道路：他回到了曾经在苏黎世笔记本中放弃的广义协变的数学要求。”(Van Dongen, 25)。两位学者都引用了爱因斯坦后来说过的话，即声称他所吸取的一大教训就是要相信数学方案。而雷恩和扬森则认为，诺顿和东恩(以及记忆有些模糊的老年爱因斯坦)过于强调这一转移了。在1915年发现最终理论的过程中，物理考虑仍然发挥着关键作用。“然而，在我们的重构中，爱因斯坦通过对《纲要》理论(这一理论几乎完全是基于物理考虑)做出重大调整而发现了回到广义协变场方程的道路……数学考虑指向了同一方向，这无疑加强了这是正确方向的信念，但引导他沿着这条道路走下去的是物理考虑而不是数学考虑。”(Janssen and Renn, 13；我在文中引用的段落出自p. 10)此外，Janssen 2004, 35：“无论他后来怎么想、怎么说和怎么写，爱因斯坦只有在不平坦的物理学之路的尽头找到这些方程之后，才发现了通往爱因斯坦场方程的数学道路。”
[68] Einstein to Arnold Sommerfeld, Nov. 28, 1915.
[69] Einstein, “On the General Theory ofRelativity,” Nov. 4, 1915, CPAE 6:21.
[70] Einstein to Michele Besso, Nov. 17, 1915;Einstein to ArnoldSommerfeld, Nov. 28, 1915.
[71] Einstein to Hans Albert Einstein, Nov. 4,1915.
[72] Einstein to David Hilbert, Nov. 7, 1915.
[73] Overbye, 290.
[74] Einstein, “On the General Theory ofRelativity (Addendum),” Nov. 11, 1915, CPAE 6:22; Renn and Sauer 2006, 276;Pais 1982, 252.
[75] Einstein to David Hilbert, Nov. 12, 1915.
[76] Einstein to Hans Albert Einstein, Nov. 15,1915; Einstein to Mileva Mari?, Nov. 15, 1915; Einstein to Heinrich Zangger,Nov. 15, 1915.(2006年公诸于世，刊印于第10卷补遗)
[77] Einstein to David Hilbert, Nov. 15, 1915.
[78] Einstein, “Explanation of the PerihelionMotion of Mercury from the General Theory of Relativity,” Nov. 18, 1915, CPAE6:24.
[79] Pais 1982, 253; Einstein to Paul Ehrenfest, Jan. 17,1916; Einstein to ArnoldSommerfeld, Dec. 9, 1915.
[80] Einstein to David Hilbert, Nov. 18, 1915.
[81] David Hilbert to Einstein, Nov. 19, 1915.
[82]这个方程可以以多种方式来表达。我这里用到的是爱因斯坦在1921年普林斯顿讲演中使用的表述。方程的整个左边可以用现在所谓的爱因斯坦张量Gμν来更简洁地表示。
[83] Overbye, 293; Aczel, 117;archive.ncsa.uiuc.edu/Cyberia/NumRel/EinsteinEquations.html#intro.惠勒引语的另一个版本参见他与迈斯纳(Charles Misner)、索恩(Kip Thorne)合著的《引力》(Gravitation)的第5页。
[84] Greene 2004, 74.
[85] Einstein, “The Foundations of the GeneralTheory of Relativity,” Annalen der Physik,Mar. 20, 1916, CPAE 6:30.
[86] Einstein to Heinrich Zangger, Nov. 26,1915; Einstein to Michele Besso, Nov. 30, 1915.
[87] Thorne, 119.
[88]关于对希尔伯特贡献的分析，参见Sauer 1999,529-575; Sauer 2005, 577–590. 讨论希尔伯特的修正的论文包括Corry, Renn and Stachel；Sauer 2005等. 关于这场争论，亦参见John Earman and Clark Glymour, “Einstein and Hilbert: Two Months in theHistory of General Relativity,” Archivefor History of Exact Sciences (1978): 291; A. A. Logunov,M. A. Mestvirishvili and V. A. Petrov, “How Were the Hilbert-Einstein Equations Discovered?” Uspekhi Fizicheskikh Nauk 174, no. 6 (June 2004): 663-678; Christopher Jon Bjerknes, AlbertEinstein: The Incorrigible Plagiarist，参见home.comcast.net/~xtxinc/AEIPBook.htm; John Stachel, “Anti-Einstein sentiment surfaces again,” Physics World, Apr. 2003,physicsweb.org/articles/review/16/4/2/1;Christopher Jon Bjerknes, “The Author of AlbertEinstein: The Incorrigible Plagiarist Responds to John Stachel's PersonalAttack,” home.comcast.net/~xtxinc/Response.htm; Friedwardt Winterberg, “On‘Belated Decision in the Hilbert-Einstein Priority Dispute’,”Zeitschrift fuer Naturforschung A, (Oct., 2004): 715-719,www.physics.unr.edu/faculty/winterberg/Hilbert-Einstein.pdf; David Rowe, “Einstein Meets Hilbert: At the Crossroads ofPhysics and Mathematics,” Physics in Perspective 3, no. 4 (Nov.2001): 379.
[89] Reid, 142. 虽然这一评论在其他二手文献中也有引用，但《爱因斯坦全集》的编者绍尔(他正在写一本关于希尔伯特著作)说，他从未找到它的原始出处。
[90] Einstein to David Hilbert, Dec. 20, 1915.
[91] Einstein to Arnold Sommerfeld, Dec. 9, 1915; Einstein toHeinrich Zangger, Nov. 26, 1915.
[92]关于广义相对论是否真的使所有形式的运动和所有参照系等价，这是一个有争议的问题。当然可以说，正在作非匀速相对运动的两个观察者都可以正当地将自己看成“静止”，而另一个受到引力场的作用。但这并不必然意味着(爱因斯坦有时这样想，有时不这样想)，正在作非匀速相对运动的两个观察者总在物理上等价，特别是有旋转发生时。比如参见Norton 1995b,223–245; Janssen 2004, 8-12; Don Howard, “Point Coincidences and PointerCoincidences,” in Goenner et al. 1999, 463; Robert Rynasiewiecz,”“Kretschmann’s Analysis of Covariance and Relativity Principles,” in Groenneret al. 1999, 431; Dennis Diek, “AnotherLook at General Covariance and the Equivalence of Reference Frames,” Studies in the History and Philosophy ofModern Physics 37 (Mar. 2006), 174.
[93] F?lsing, 374; Clark, 252.
[94] Einstein to Michele Besso, Dec. 10, 1915.
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