哥德尔针对物理主义的一个论证
2016/3/29 哲学园
哥德尔针对物理主义的一个论证 作者：郝兆宽 来源：《逻辑学研究》 1951年12月26日，在布朗大学举办的美国数学学会上，哥德尔应约做第25届吉布斯(Josiah Willard Gibbs)演讲，题目是《数学基础中一些基本定理及其推论》。有证据表明哥德尔曾打算将演讲的文稿发表在《美国数学学会简报》(Bulletin of American Mathematical Society)上，但由于哥德尔对自己的发表有着近乎苛刻的要求，本篇与哥德尔的大多数手稿一样，最终未能出版。幸运的是，这部极为重要的著作作为遗稿保存了下来，并收录于1995年出版的《哥德尔文集》第三卷“未发表论文和演讲”中。([3]，第304-323页)目前学界通常用“吉布斯演讲”或“哥德尔*1951”称呼这篇论文，本文也将如此。
吉布斯演讲主要讨论两个不完全性定理在数学哲学上的意义。哥德尔构建了一个论证，认为这个论证决定性地反驳了物理主义哲学。本文主要讨论的就是哥德尔论证以及对它的各种批评意见，尝试站在柏拉图主义的立场上加以辩护，并希望藉此引起分析哲学界对这个论证，乃至整个哥德尔思想的研究兴趣。当然，吉布斯演讲可称是鸿篇巨制，内容丰富而深刻，涉及到很多哲学上的基本概念。全面讨论这篇论文需要更多的工作，不是本文的目的。
1 哥德尔析取式论证
为了理解哥德尔的论证，我们首先简述一下哥德尔的两个不完全性定理。我们设想工作于一阶的算术语言LAR中，它的非逻辑符号有常量符号O，表示后继的一元函数符号S，和表示加法、乘法的二元函数符号+和×。假设Q是由以下公理组成的公理系统：
(Q1)SO≠O；
(Q2)Sx=Syx=y；
(Q3)x≠Oy(Sy=x)；
(Q4)x+O=x；
(Q5)x+Sy=S(x+y)；
(Q6)x×O=O；
(Q7)x×Sy=x×y+x.
Q就是通常所谓的“罗宾逊算术”，是美国数学家罗宾逊(Raphael M.Robinson)在1950年作为皮亚诺算术(Peano Arithmetic)的一个子系统提出的。目的是检验只需要哪些公理就能将可计算的函数在皮亚诺算术中表示出来。Q是有穷可公理化的，比起皮亚诺算术来是非常弱的算术系统，所以它承担了极少的哲学假设，即使最严格的有穷主义者，也应该接受它的公理。但对于哥德尔第一不完全性定理，这样弱的假设就已经足够了。
定理1(哥德尔第一不完全性定理) 假设T是包含Q的一个算术形式系统，并且是递归可公理化的，那么，如果T是一致的，则存在一个语句S，S和并非S都不是T可证明的。
由于S和并非S总有一个是真的，所以这等于说有一个真命题是T不能证明的。通常称这样的S是对于T不可判定的。①
第二不完全性定理所需的假设要稍多一些。以下三条原则称为罗布可导出条件(Lb Derivability Conditions)：
假设T是一个公理系统，S，A是语句，则
(L1)如果T能证明A，则T能证明“A在T中有个证明”；
(L2)在T中可以证明：存在(AS)和A在T中的证明蕴涵着存在S在T中的证明；
(L3)在T中可以证明：存在A在T中的证明蕴涵“存在A在T中的证明”这一命题有一个T中的证明。
Q满足L1，但不满足L2和L3，所以罗布可导出条件要求比Q强的系统。但可以验证，标准的皮亚诺算术系统PA满足L1-L3。
定理2(哥德尔第二不完全性定理) 假设T是包含Q的一个算术形式系统，并且是递归可公理化的，同时满足罗布可导出条件，那么，如果T是一致的，则“T是一致的”不能在T中证明。
Q是一个有穷可公理化的形式系统，即它只包含有穷多公理。很多数学理论不是有穷可公理化的，它们通常需要无穷多条公理。但这种区分对我们的讨论并不重要，因为它们的公理都是“递归的”，给出任何一个公式，用一台图灵机都可在有穷步内断定这个公式是否是一条公理。数理逻辑的一个简单事实是：不论公理是有穷的还是无穷的，只要它们是递归的，或图灵可计算的，那相应的理论，即这些公理的所能证明的全部定理，是一个递归可枚举的集合，或者说半可计算的集合。它的意思是：任给一个公式，用一台图灵机并不能总是在有穷步内判断这个公式是否是定理：如果它确实是定理，那图灵机会在有穷步内停机并回答“是”；如果它不是定理，那图灵机可能会不停机，而不是在有穷步内回答“不是”。我们今后用“形式化公理系统”总是指一个其公理是图灵可计算的理论，这样的理论本身是半可计算的。并且，这样的一个理论总是对应着一台图灵机，它能“打印”出该理论的全部定理。这样的话，如果我们相信人类的全部数学可以总结到一个形式化公理系统中，那它就不过是一台图灵机的产物。否则，我们就需要超出图灵机的能力来掌握数学知识。
但由于不完全性定理的原因，如果一个形式系统可以穷尽数学，那一定会有一些数学真理是我们不能认识的：假设我们(在将来的某一天)已经穷尽了数学的全部真理，并将它们概括为一个公理系统T。令con(T)表示“T是一致的”这个数学命题，由第二不完全性定理，它不能在T中证明。而我们已经假设T穷尽了全部数学，所以con(T)是一个永远不能被人类认识的命题。
这样，我们就达到了哥德尔的重要结论：不完全性定理蕴含着以下析取命题：
或者数学在如下意义上是不完全的：它那些显然的公理永远不能包含于一个有穷的规则中，也就是说人类心灵(即使在纯数学领域内)无穷地超出了任何有穷机器的能力，或者存在着绝对不可解的……丢番图问题(而这个析取的两个析取枝都是真的这种情况并没有被排除，所以严格说还存在第三种情况)。([3]，第310页)
哥德尔强调，他的以上结论是“数学地建立起来的”，并不依赖他的实在论观点。但是，这个推论本身，却从根本上否定了数学哲学中的物理主义立场。②因为在哥德尔看来，不管哪个析取枝成立，都是对物理主义的挑战。如果第一个析取枝成立，即心灵超过任何机器，那物理主义当然错了；而如果第二个析取枝成立，即存在绝对不可解的数学命题，那数学就不是人类的创造或想象，因此我们有一个非物理的抽象的数学世界。我们将这个论证称为“哥德尔析取式论证”(Gdel’s Disjiunctive Argument)，简称GDA。我们接下来更为仔细地讨论这个论证，并力图回应一些批评。
2 GDA与心灵—机器问题
在GDA中，数学不可能被一个公理化的形式系统所穷尽被视为一个数学事实，是不完全性定理的推论，也是导致析取式成立的直接前提。可这里的数学到底指的是什么呢?是人类能掌握的数学知识还是客观数学世界中的真理?为了回答这一问题，哥德尔尝试区分了“主观数学”和“客观数学”两个概念。所谓主观数学，就是人类能够认识和证明的全部数学命题。而客观数学则是关于数学世界的全部客观真理。以上论证对于客观数学是显然成立的，因为无论T是何种公理系统，表达它一致性的命题是一个数学命题，而且不能由T来判定。
而对于主观数学来说，的确存在着这样的可能性，即，它的全部命题能够总结到一个公理化的形式系统中。但即使真是这样，我们也不可能真的能证明这一点。我们只能一个接一个地证明数学的真理，并且随着这些定理数目的增加，我们会经验地猜测按照这种方式，全部数学真理最终可以证出。如前所述，一个递归可公理化的形式系统对应着一台标准的图灵机，所以哥德尔指出，在这种情况下，人类心灵的数学能力就像一部机器，它不能完全了解自身的全部功能。这使得它误以为数学是不可穷尽的。
另一种可能性是，即使主观数学也不能概括为一个递归的公理系统。这蕴涵着人类有超出纯粹形式系统的认识能力。最能说明这种认识能力的是集合论宇宙V。我们从自然数出发，这些直观上最清晰明白的对象构成宇宙的第一层，记作。接下来我们用“……的集合”这一简单的运算构造宇宙的第二层，这就是自然数的集合，记作。所有的实数，如果每个都被看做自然数的无穷序列，都属于这一层。以此类推，下一层是实数的任意子集，如此下去，我们得到，...等等，从而到达第一个无穷序数，它是将前面所有的层并在一起构成的。一旦有了，我们又可以构造由它的元素构成的集合，这就达到了层。按照这种方式在超穷序数上进行递归，最终我们可以得到一个集合的宇宙V。③
在哥德尔看来，我们对于V至少有部分的认识，这些认识部分地总结在集合论的公理系统ZFC中。但是，抛开任何哲学立场，当你宣称ZFC是关于V的一个公理系统时，就已经接受“ZFC的公理在V中为真”了。至少对某些数学家来说，这是一个明显的数学事实，当然，它不能用ZFC来证明。 ZFC本身是一个递归的形式体系，可以由一台标准的图灵机列出它的定理，而“ZFC公理在V中是真的”这件事蕴涵着ZFC是一致的，后者却不是这台机器能证明的。机器甚至不能理解这个命题的真正含义。所以，如果承认数学家对结构V的直观，那数学就不仅仅是形式系统内部的事情。寻找哪些命题作为集合论的公理，实际上反映着数学家对V的性质有何种的认识。
有一类现象更能说明把数学看做一个形式系统的立场会面临多么大的挑战。一些对V来说意义非常明确的命题，例如连续统假设CH，是独立于ZFC的，即，它和它的否定都不是ZFC的定理。这里的情况与第一不完全性定理不同。在那里，不可判定语句S带有“人造”的痕迹。它是一个算术命题，大致可理解为“S是不可证的”，并无实在的数学意义。但连续统假设不同，它是说：
(CH)实数的任何子集的基数或者是与全体自然数的基数相等或者与全体实数的基数相等。
前面提到过，中的对象是自然数，中的对象是实数，所以中的对象是实数的子集。由此不难看出，CH是关于V的很低的层次的一个命题，有着非常显然的数学意义。
连续统假设这类独立性现象也与ZFC的一致性不同。愿意接受ZFC公理并工作于其中的数学家，无论持何种哲学立场，都对ZFC的一致性有一个直观，或至少(哪怕是无奈地)接受它为一个事实。④但没有数学家声称对CH成立与否有任何的直观。虽然哥德尔曾猜想连续统的基数不超过，甚至猜想连续统假设是成立的，但这些猜想依据的是对集合论大量其他事实的观察。
ZFC不能确定CH是否成立，对这个事实可以有两种不同的解读。
有些数学家会认为这说明CH本身超出了人类心灵的能力，我们不能精确、完整地把握它的涵义。从这个意义上，CH是一个绝对不可判定的问题。但这要从根本上否认我们对V有任何的把握。如果仅仅在这一层就有了超出心灵可把握的问题，那对V的任何认识都会是一种虚妄。因为我们已经解释过，不过是数论的世界而则是实分析的领域，所以我们完全可以不需要集合论去讨论数学问题。这样的话，ZFC就成了一个随意的形式系统，构造这个系统背后的动机不能得到任何合理的解释。可这与20世纪数学发展的历史和数学基础领域的实践相矛盾。一种与数学实践无关甚至矛盾的数学哲学，它的意义又何在呢?这对物理主义者是一个真正的挑战，至少破坏了他们所宣称的一个基本原则：方法论自然主义。在讨论物理主义对这一挑战的反应前，我们先看看对独立性现象的另一种解释。
站在哥德尔一边的数学家把CH的独立性归结为我们对V的把握尚不完备。在他们看来，CH无论如何都有清楚的含义，它在V中一定是或者为真或者为假的。只是由于ZFC只概括了关于V的部分事实，所以它不能判定CH的真假。简单来说，这种立场可以总结为：由于我们对V有了一定的认识，所以CH的含义是清楚的；又由于我们的认识不全面，所以一时不能判定它的真假。基于这种立场，数学的一个重要目标就是寻找新的公理以更全面地把握V。
当然，这后一种立场必然假设了心灵的数学能力超过了任何一台图灵机的能力。而这又蕴含着，即使对于主观数学，它的全部命题也不能被总结到一个递归可公理化的形式系统中去。这是因为，哥德尔和物理主义者都认为大脑是一个有穷的结构，神经元的数目是有限的，它们之间的连接和其内部的状态也是有限的。大脑的能力因此也就不会超过有穷的机器。如果认为人类对于V有超出形式系统的认识或直观，就要承认人类拥有一个至少部分独立于大脑的心灵。
3 物理主义对GDA的可能回应
到目前为止，我们都在强调哥德尔GDA的合理性，以及我们看到的在数学实践中支持它的证据。接下来我们讨论一下物理主义对GDA的批评。这些批评主要来自叶峰([5])、布鲁斯(George Boolos，[1])和费弗曼(Solomon Feferman，[2])。后二者并非是物理主义者，但他们对GDA的批评是物理主义者所能接受的。事实上，真正的物理主义者很少认真对待哥德尔的思想，我觉得主要原因是两者之间的分歧是不同哲学范式之间的差异，而不是分析哲学内部的争论。哥德尔虽然早年参加过维也纳学派的活动，但他自始至终没有完全认同这些哲学家的立场，甚至研究哲学的方式。比起分析哲学对语言的重视，哥德尔更看重数学和物理学中那些重大进展带给哲学的影响。GDA是最明显的例子，他讨论相对论与康德哲学的文章是另一个。但不可否认的是，GDA对流行的物理主义确实是一个有力的挑战，我们也期待着更多分析哲学家对这一论证的讨论或回应。
针对GDA，物理主义最直接的一个反驳就是，心灵并非一个严格的数学概念，甚至不是一个清晰的哲学概念。(参见[1]或[2])因此，GDA不仅没有数学的严格性，在哲学上也是模糊不清的。这个挑战是容易回应的，事实上：哥德尔的论证并不依赖于一个清晰的心灵概念。因为我们也许并不了解心灵是如何工作的，甚至不了解心灵以何种形式存在、以何种形式超越了有穷神经元的活动。但我们可以了解心灵的数学功能，可以客观地考察心灵这一功能的产物：我们的数学知识，它的那些定理。所以，在哥德尔的析取式中，“心灵严格超出任何有穷机器”有一个等价的命题是“数学的那些公理永远不能包含于一条有穷的规则中去”。这时，心灵类似于一个黑箱，我们不必了解它的内部结构和工作机制，只需观察它的那些产物，而且仅仅是数学的产物就已经知道这不是任何机器可以做到的了。
当然，物理主义者会进一步发问：“数学知识”指的是人类已经证明的那些数学定理的总和吗?如果是这样，它们是有穷的，已经包含于一个有穷的形式化公理系统中。而如果数学知识指的是人类“能够”证明的定理，这又会成为一个模糊概念。因为谁也不能说出，在人类灭亡之前数学家会证明出哪些定理来。退一步说，即使承认人类原则上能证明的数学定理是一个明确的概念，那也不能说明它们超出了任何机器的能力。因为，如果我们接受目前自然科学的结论，人类很可能会有灭亡的一天，所以数学家能证明的全部数学定理也是有限的，那自然就有一台机器把它们全部证明出来，人类心灵的全部数学能力也就不会超出这台机器。([2])
这里的焦点是：我们的数学知识是否指的不过是已经或者原则上能够证明的那些定理。仔细考察不难发现，接受这个假设，本质上不过是以另一种形式接受了全部数学都可概括于一个形式系统中，但这正是物理主义的前提，也是柏拉图主义者所坚决拒绝的。站在后者的立场上，一个很自然的问题是：这些定理所依据的公理又是什么性质的命题呢?物理主义也许会回答说，它们只是一些假设，而所谓已经证明的数学定理，不过是说：如果这些假设是对的，那么这个命题就成立。例如，用n+1表示自然数n的后继，那么n≠n+1是罗宾逊算术的定理。按照物理主义对数学知识的理解，这并不是说n≠n+1是一个数学事实，而是说：如果Q1-Q7是对的，那么n≠n+1。只有表达这个蕴涵式的命题才是数学定理。对数学知识的这种假设—演绎模式的解说有一个困难，它不能说清为何要选取这些公理，例如Q1-Q7，作为出发的基础。当然，我们可以说这些假设是某种约定，甚或是随意为之的，可这并不能对数学实践给出令人满意的解释。
我们在讨论CH之类的独立性现象时遇到过完全一样的问题，现在正适合讨论物理主义者可能的回应。事实上，可供物理主义的选择并不多。除了否认我们对于V这样的数学结构有任何的直观外，另一个选择就是把数学视为人类的想象或创造。V如果不过是人类的虚构，那对它的所谓认识就不能证明我们有一个超出大脑的心灵。事实上，在这一假设下，不完全性定理的意义也变得无足轻重，它不过说明“人类想象的证明”和“人类想象的真”是不一样的。([5]，第406页)
但正是在这里，物理主义遇到了GDA中第二个析取枝的挑战。根据哥德尔的析取式，如果心灵不过是一台有穷的机器，那就存在绝对不可判定的数学问题。而如果数学是人类的想象或创造，那这又是如何可能的呢?我们如何可能创造一个我们自己完全不了解的理论?这就像说我们创作了一部我们绝对不知道结局的小说。然而，要使得物理主义者承认这是一个挑战，还需澄清“绝对不可判定”的含义。因为我们有可能追问：那个问题是对于哪一台图灵机不可判定的呢?是对PA，还是ZFC，还是“ZFC+某个大基数公理”?这个追问背后的动机其实前面也提到过，那就是认为人类原则上可以把任何数学中的新问题作为公理放入已有的形式系统中而使其成为新系统可判定的。正如已经论证过的，这个策略需要说明我们为什么以这个命题而不是另一个命题，甚至它的否定为公理，而物理主义是不能很好说明这一点的。
即使如此，物理主义者也很难被说服。因为他们会认为这样的问题本就不存在，也不会被提出。哥德尔不完全性定理虽然暗示了这类问题的存在，但这需要假定确实存在客观的数学真理，而这是柏拉图主义的预设，怎么能再用来论证柏拉图主义呢?反过来也是如此，除非从开始就否认任何客观的数学真理，从而否认不完全性定理的意义，物理主义似乎也很难构建反对GDA的有效论证。
离开这个僵局，我们还可以讨论另一个有趣的话题，这就是不断构造更强的公理系统的过程。前面提到，物理主义把这看作一个论据，即，无论心灵证明出何种定理，总能将它们置于一个形式公理系统之中，而柏拉图主义则把这解释为人类对客观数学世界不断增强的认识。在哥德尔看来，数学中这一类现象还使得把数学视为人类的想象或创造的立场面临挑战。我们知道， PA的一致性不能在PA中判定，但它可以在更强大的系统ZFC中得到证明。不仅如此，一些具有明确意义的纯算术命题，例如古德斯坦定理，在PA中不可判定，但在ZFC中是可证明的。这似乎暗示着，通过在数学世界V中不断向上攀爬，我们增加了对下层结构的了解。或者说，当我们对宇宙的整体认识提高时，我们对它某些局部的性质也有了更精确的理解。更为有趣的是，这种对高层或整体的把握，常常是了解低层或局部问题所必须的!如果数学是人类想象，那这就意味着，为了理解我们自己的一个简单的想象“自然数”，我们需要创造更多的更复杂的想象“实数”、“超穷序数”等等才行。但如果过数学仅只是想象，那自然数这个想象本身是不依赖于“实数”、“超穷数”这些想象的。这等于说，我们创造了一个东西，但为了完全理解它，需要创造更多更复杂的东西。对于物理主义来说，这是很难应付的一个问题，在现有的物理主义框架内，我们看不到解释这一问题的可能性。
4 结语
概而言之，哥德尔的析取式论证是哥德尔自己对不完全性定理之哲学意义的解释，他虽然自己承认这个论证不足以支持建立其自身的概念实在论立场，但却坚信GDA至少反驳了把数学看做是句法约定的唯名论立场和把数学视为大脑虚构的物理主义立场。([3]，第311页，第322页)我们相信以上的讨论至少表明，物理主义和唯名论者应该认真地对待哥德尔的论证。可惜的是，针对哥德尔的批驳，目前尚未看到另一方有任何有力的回应。另一方面，也同样可惜的是，当代柏拉图主义者也还远没有发现并学会使用这个论证的力量。
注释：
①当然，直觉主义者不同意这一点，因为这里的论证用到了排中律。事实上，在直觉主义者看来，一方面不完全性是平凡的事实，那些不能给出构造性证明的数学命题总是处于不可判定的状态；另一方面，不完全性并没有太多的意义，因为直觉主义者拒绝有一个客观上“真”的概念。
②哥德尔原文使用的是“唯物主义”(materialism)，在当代数学哲学的语境下，它与物理主义当然是一个意思。
③哥德尔在这里所谓的，相当于普通集合论教材中的。
④可能有人会反对这种说法。设想相反的情形：一个数学家用ZFC的公理去证明，但又相信ZFC是不一致的。我不认为这是可能的，借用迈吉道(Menachem Magidor)的用语，处于这样状态的数学家是“理智上不诚实的”(intellectually dishonest)。参见文献[4]。
http://www.duyihua.cn
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